判断两线段是否相交——快速排斥与跨立实验

　　如何判断两条线段是否相交呢？如果是我们去解决这个问题，用眼睛很容易就看出来了，但是如果用计算机来解决这个问题，该怎么办呢？下面介绍两个方法，这两个方法结合起来就能完美解决这个问题了。
 
一、快速排斥

对于两条线段，我们以这两条线段为对角线各自作一个矩形，如图所示，如果这两个矩形没有相交的部分那么这两条线段一定不相交，这样我们可以排除一部分不相交的情况了。

那么又该怎么判断这两个矩形是否相交呢？这就比判断线段要简单的多了，若：
·线段1下面的端点高于线段2上面的端点；
·线段1上面的端点低于线段2下面的端点；
·线段1左面的端点位于线段2右面的端点的右边；
·线段1右面的端点位于线段2左面的端点的左边；
那么我们就可以说这两个矩形不相交，即这两个线段不相交，用代码实现如下：
1 bool quick_judge(point a,point b,point c,point d)
2 {
3     if(a.y>c.y||b.y<d.y||a.x>d.x||b.x<c.x)
4         return false;
5     else return true;
6 }

但是仅这一种判断方式无法解决我们的问题，有反例如下图，两矩形相交但是线段并没有相交，这就需要我们用第二种方法来加以辅助。

二、跨立实验
 
首先简单介绍一下向量的叉乘：
 
　　假设有两个二维向量a，b，那么它们的的叉乘结果为a×b=a.x*b.y-b.x*a.y，我们可以通过这个值得到很多有用的性质：
　　·a，b向量构成的平行四边形的面积。
　　·如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。
 
跨立实验用到的就是上面的第二个性质。
我们再来看跨立实验，简单来说，就是两条相交线段，其中一条的两个点一定在另一条的两边，如下图。

那么如何去判断呢，这就需要用到我们上面说到的叉乘了。如在下图中，我们选择线段AB为基准，然后去判断AC×AB与AD×AB是否是同向的，若不是同向的，则证明了B,D两点在线段AB的两边。即 

用代码来实现：
 1 bool cross_judge(point a,point b,point c,point d)
 2 {
 3     const double eps=1e-9;
 4     double ac,ad,cb,ca;
 5     ac=(c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(c.y-a.y)*(b.x-a.x);
 6     ad=(d.x-a.x)*(b.y-a.y)-(d.y-a.y)*(b.x-a.x);
 7     ca=(a.x-c.x)*(d.y-c.y)-(a.y-c.y)*(d.x-c.x);    //保险起见，把另一条边也判断一下
 8     cb=(b.x-c.x)*(d.y-c.y)-(b.y-c.y)*(d.x-c.x);
 9     if(ac*ad<eps&&ca*cb<eps) return true;
10     else return false;
11 }

至此，我们将这两个方法结合一下，就可以解决我们的问题了。

三、相关题目
 
1.例题 ZOJ P1648
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 const double eps=1e-9;
 6 
 7 struct segment
 8 {
 9     double x1,x2,y1,y2;
10 }seg[2005];
11 
12 bool judge(segment a,segment b)
13 {
14     if(min(a.x1,a.x2)<max(b.x1,b.x2)&&max(a.x1,a.x2)>min(b.x1,b.x2)&&min(a.y1,a.y2)<max(b.y1,b.y2)&&max(a.y1,a.y2)>min(b.y1,b.y2))
15     {
16         double v1,v2,v3,v4;
17         v1=(b.x1-a.x1)*(a.y2-a.y1)-(b.y1-a.y1)*(a.x2-a.x1);
18         v2=(b.x2-a.x1)*(a.y2-a.y1)-(b.y2-a.y1)*(a.x2-a.x1);
19         v3=(a.x1-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y1-b.y1)*(b.x2-b.x1);
20         v4=(a.x2-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y2-b.y1)*(b.x2-b.x1);
21         if(v1*v2<eps&&v3*v4<eps) return true;
22         else return false;
23     }
24     else return false;
25 }
26 
27 int main()
28 {
29     int i,j,n,flag=0;
30     while(~scanf("%d",&n))
31     {
32         flag=0;
33         for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf%lf%lf",&seg[i].x1,&seg[i].y1,&seg[i].x2,&seg[i].y2);
34         for(i=0;i<n;i++)
35             for(j=i+1;j<n;j++)
36             {
37                 if(judge(seg[i],seg[j]))
38                 {
39                     flag=1;
40                     break;
41                 }
42             }
43         if(flag) printf("burned!\n");
44         else printf("ok!\n");
45     }
46     return 0;
47 }
ZOJ P1648

 

 
Author : Houge　　Date : 2019.5.31
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posted @ 2019-06-01 00:00  CSGO_BEST_GAME_EVER  阅读(1188)  评论(0)  编辑  收藏  举报