矩阵快速幂

一、快速幂

快速幂是一种用于快速计算出（因为太大，通常需要对一个数取模）的算法。因为较为基础，在此不多做讲解。主要原理：，，。因为指数在每次运算中都会缩小一半，时间复杂度为。代码如下。

ll ksm(ll a, ll k)
{
　　ll res = 1;
　　while(k)
　　{
　　　　if(k%2)　　res=res*a%M;
　　　　a = a*a%M;
　　　　k = k/2;
　　　}
　　return res;
}

 例题 1:　　　　hdu

二、矩阵快速幂  　　　　不懂的可以参考:https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52058209

模板

struct mat    //个人习惯用结构体
{
    ll a[10][10];
    mat()
    {
        mem(a);
    }
};

mat mul(mat A,mat B)    //两个矩阵相乘
{
    mat res;
    for(int i = 0; i < 10; i++)
        for(int j = 0; j < 10; j++)
            for(int k = 0; k < 10; k++)
                res.a[i][j] = (res.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%m;
    return res;
}

mat pow(mat A, ll n)                  //矩阵A的n次方
{
    mat B;
    for(int i = 0; i < 10; i++)
        B.a[i][i] = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            B = mul(A,B);
        A = mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return B;
}    

例题1　　　　hdu2276

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long

char s[101];
int n;
struct mat
{
    int a[101][101];
    mat()
    {
        mem(a);
    }
};

mat mul(mat A,mat B)
{
    mat res;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
            for(int k = 0; k < n; k++)
                res.a[i][j] = (res.a[i][j] + A.a[i][k]*B.a[k][j])%2;
    return res;
}

mat pow(mat A,int m)
{
    mat B;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        B.a[i][i] = 1;
    while(m)
    {
        if(m&1)
            B = mul(A,B);
        A = mul(A,A);
        m >>= 1;
    }
    return B;
}
int main()
{
    int m;
    while(~scanf("%d",&m)&&m)
    {
        scanf("%s",s);
        n = strlen(s);
        mat A;
        A.a[0][n-1] = A.a[0][0] =  1;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            A.a[i][i] = A.a[i][i-1] = 1;
        }
        mat B;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            B.a[i][0] = s[i]-'0';
        }
        mat ans;
        ans = pow(A,m);
        ans = mul(ans,B);          //mul(a,b)!=mul(b,a);
        for(int i = 0; i < n; i++)
            printf("%d",ans.a[i][0]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

例题2　　　　hdu2604

解析 　　给你一个只有f和m，长度为l的字符串，让你找出满题条件的串的个数对m取余的数。如果这个串中不含fff和fmf就说这个串是满足条件的。
假设现有长度为n的串s，f(n)是s串满足条件的答案。f(n)怎么推出来捏？
如果s的最后一位为m，那么就加上f(n-1)，因为在长度为n-1的满足条件的串后面加上一个m所得到的串肯定也满足条件。
如果s的最后一位为f，那么s的最后三位只有mmf和mff两种情况！继续讨论！
如果s以mmf结尾，那么加上f(n-3)，因为在长度为n-3的满足条件的串后面加上一个mmf所得到的串肯定也满足条件。
那如果s以mff结尾呢？向前思考一位，倒数第四位只能是m，也就是此时s是以mmff结尾的，再加上f(n-4)岂不是美滋滋？
综上f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4)。