[算法] 高级搜索算法之迭代加深
前言
最开始搞 \(OI\) 的时候接触了搜索算法，后面基本上没有在练过了。若本文有误，请在讨论区指出。
思想
假设一张图， \(ans1\) 在很深的地方， \(ans2\) 离搜索树的根节点最近，但是需要找到的答案为 \(ans3\) 。
首先考虑 \(DFS\) ，一般是一搜搜到底，很有可能找到 \(ans1\) 。若继续查找，很有可能花费太多时间。时间效率低。
再来考虑 \(BFS\) ，它可以找到最近的答案 \(ans2\) 。若继续查找，很有可能存储状态的队列会浪费巨大空间。空间效率低
现在引出 \(IDDFS\) ，它通常适用于有两个条件的问题：一是它是个最优解问题，二是最优的答案深度最小。且能够快速地找到答案。
假设在搜索树中，每层树都有 \(3\) 个方案，即是搜索树为一颗 \(3\) 叉树，共 \(2\) 层， \(ans\) 在 \(3\) 。
先来对比 \(DFS\) ，搜索路径为 \(1-2-5-2-6-2-7-2-1-3\) ，找到答案。有最坏情况，即每一个分支都是一个无底洞，若永远搜索不到答案，就会卡在里面。
再来对比 \(BFS\) ，搜索路径为 \(1-2-3\) ，看起来比较短，但是队列中有 \(1,2,5,6,7,3\) 的信息，若答案更深一些，那么就会炸空间。
通过上述两个例子，可以知道 \(DFS\) 和 \(BFS\) 的局限性，但也各有千秋。结合两种算法，就有了迭代加深。首先限定一个层数，对于搜索树进行深度优先搜索。假设这个层数为 \(1\) ，那么深搜只会搜索到 \(2\) ，不会继续加深。首先试探性地来找答案，直到找到答案位置。很明显，上面几层的点会搜到很多遍，但时间复杂度对于 \(DFS\) 来说比较优，而在空间复杂度上比 \(BFS\) 上略胜一筹。
很容易就写出模板：
int max_depth = min_depth;
Id_Dfs( int current_depth , int max_depth ) {
if( current_depth > max_depth ) return ;
if( 找到答案 ){ 输出答案 ; (exit(0) ; || return ;) }
for each ( 当前节点的儿子节点 )
Id_Dfs(current_depth + 1, max_depth) ;
}
for(; ; max_depth++ ) {
Id_Dfs( 0 , i ) ;
}
结合例题理解。
题目
一个与 \(n\) 有关的整数加成序列 \(<a_0,a_1,a_2,...,a_m>\) 满足以下四个条件：
- \(a_0=1\)
- \(a_m=n\)
- \(a_0<a_1<a_2<...<a_{m-1}<a_m\)
- 对于每一个 \(k(1≤k≤m)\) 都存在有两个整数 \(i\) 和 \(j(0≤i,j≤k-1\)，\(i\) 和 \(j\) 可以相等 )) ，使得 \(a_k=a_i+a_j\)
你的任务是：给定一个整数 \(n\) ，找出符合上述四个条件的长度最小的整数加成序列。如果有多个满足要求的答案，只需要输出任意一个解即可。
思路
按照 \(1,2,4,8...\) 这样来排列，找出最少需要的次数那么最少的层数就找到了，就减少了之前做的无用功。
树上的子节点也较为好找，只需要将之前搜索到的数字，按照题意两两搭配找到下一项。
只需要按照 \(IDDFS\) 的规则搜索就行了。但重点在于剪枝，写在注释里的。
for(int i = nowdepth; i >= 1; i--) {
for(int j = nowdepth; j >= i; j--) {//两两搭配，且答案越大越容易找到解，故而到着找
if(ans[i] + ans[j] <= n && ans[i] + ans[j] > ans[nowdepth]) {//满足题意1，2两点的搜索
int now;//找到下一项
ans[nowdepth + 1] = now = ans[i] + ans[j];
for(int k = nowdepth + 2; k <= limit; k++)
//从nowdepth + 1这一项开始，后面最大时也就是now不停扩大2倍，若最大都达不到n，舍去不求
now <<= 1;
if(now < n)
continue;
Id_Dfs(nowdepth + 1);//搜索下一层
if(flag)//找到答案
return;
}
}
}
C++代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
bool Quick_Read(int &N) {
N = 0;
int op = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') {
if(c == '-')
op = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9') {
N = (N << 1) + (N << 3) + (c ^ 48);
c = getchar();
}
N *= op;
return N != 0;
}
void Quick_Write(int N) {
if(N < 0) {
putchar('-');
N = -N;
}
if(N >= 10)
Quick_Write(N / 10);
putchar(N % 10 + 48);
}
const int MAXN = 1e5 + 5;
int ans[MAXN];
int limit;
bool flag;
int n;
void Id_Dfs(int nowdepth) {
if(nowdepth > limit || flag)//达到层数不在恋战或找到答案，直接跳出
return;
if(ans[nowdepth] == n) {//满足题意
flag = true;
return;
}
for(int i = nowdepth; i >= 1; i--) {
for(int j = nowdepth; j >= i; j--) {//两两搭配，且答案越大越容易找到解，故而到着找
if(ans[i] + ans[j] <= n && ans[i] + ans[j] > ans[nowdepth]) {//满足题意1，2两点的搜索
int now;//找到下一项
ans[nowdepth + 1] = now = ans[i] + ans[j];
for(int k = nowdepth + 2; k <= limit; k++)
//从nowdepth + 1这一项开始，后面最大时也就是now不停扩大2倍，若最大都达不到n，舍去不求
now <<= 1;
if(now < n)
continue;
Id_Dfs(nowdepth + 1);//搜索下一层
if(flag)//找到答案
return;
}
}
}
}
void Work() {
for(; !flag; limit++)//直到找到答案时停止搜索
Id_Dfs(1);
for(int i = 1; i < limit; i++) {//输出
Quick_Write(ans[i]);
putchar(' ');
}
putchar('\n');
}
void Init() {
limit = 1;
int test = 1;
while(test < n) {//找到最小层数
test <<= 1;
limit++;
}
ans[1] = 1;
flag = false;
}
int main() {
while(Quick_Read(n)) {//多组输入输出，到0为止
Init();
Work();
}
return 0;
}
