[算法] 二分图最大匹配
前言
具体什么是二分图，如何判定，可以参考我的这篇博客。
定义
简单来说，就是二分图中有满足任意两条边没有相同的点的边的集合，称为一组匹配，而边数最多的一组匹配称为该二分图的最大匹配。在一组匹配中，属于这组边的称为匹配边，不属于的称为非匹配边，属于这组匹配的点称为匹配点，不属于的称为非匹配点。
匈牙利算法
又称增广路算法。
对于一组匹配 \(M\) ，若存在一条路径连接两个非匹配点，且使得匹配边与非匹配边交替出现，则称这条路径为增广路。
如上图，已匹配的边为红色，未匹配的边为绿色，则可以找到一组增广路 \(8\) ~ \(2\) ~ \(7\) ~ \(4\) 。不难发现增广路具有以下特点：
- 以非匹配边开始，在以非匹配边结尾，那么长度必为奇数。
- 路径上第一条边因为第一个点为奇数，则该路径上的第一个点为非匹配边，按照匹配边与非匹配边交替出现的性质可以得出，该路径的第奇数条边必为非匹配边，已经匹配的边必为第偶数条边，则有非匹配边的边数比匹配边的边数多一。
- 最大匹配中不会有增广路。证明：假设最大匹配中存在增广路，则可以将增广路中的所有边的状态取反（即把非匹配边转换为匹配边，将匹配边转换为非匹配边），得到另一组匹配，而这组匹配的匹配边肯定会比之前的一组匹配的边数多一，则之前的这组匹配就不是最大匹配，与假设矛盾，证毕。
在一张二分图中，若最大匹配为 \(S\) ，当且仅当 \(S\) 中不存在增广路。其确性基于 \(hall\) 定理，比较复杂就不在详讲，主要讲找二分图最大匹配的方法。
大体思想就是枚举左部点，找到增广路后将这条路上的所有边的状态取反，得到边数更大的一组匹配。
在匹配过程中，有两种情况会改变当前左部点 \(u\) 的匹配情况。
- 与之对应的右部点 \(v\) 是非匹配点，则可以将其的连边变为匹配边。
- 与之对应的右部点 \(v\) 是匹配点，但与 \(v\) 已经匹配的点 \(u'\) 可以找到另一个未匹配的右部点 \(v'\) ，则 \(u\) ~ \(v\) ~ \(u'\) ~ \(v'\) 为一条增广路，则将其状态取反。 \(u\) 对应的点 \(v\) 已经对 \(u'\) 进行了标记，遍历 \(u'\) 的时候就不会再遍历 \(v\) 了，看再次匹配 \(u'\) 是否能找到上述的 \(v'\) ，若找到 \(v'\) ，意味着找到了增广路。
最小点覆盖于最大匹配的关系
由 \(Konig\) 定理可知：最小点覆盖的点数与最大匹配的边数相等。
证明较为复杂不详讲。
C++实现
int twin[MAXN];//右部节点与之匹配的左部节点
bool vis[MAXN];//记录当前点是否走过
bool Hungary(int now) {
int SIZ = v[now].size();
for(int i = 0; i < SIZ; i++) {
int next = v[now][i];
if(!vis[next]) {
vis[next] = true;
if(!twin[next] || Hungary(twin[next])) {//分别对应情况一与情况二
twin[next] = now;
return true;//匹配成功
}
}
}
return false;//匹配失败
}
int Match() {
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
if(Hungary(i))
res++;
}
return res;
}
