时域采样定理
对于一个信号，我们想对其进行采样转化成数字信号，显然，当我们采样频率越改，我们所能保留的信息越多，但是当高采样频率对我们的采样设备要求也高，我们希望找到采样频率和模拟信号频率之间的一些关系
有模拟信号\(x_{a}(t)\)，我们对其进行理想采样，即采样信号\(\hat{x}_{a}{(t) =}x_{a}(t)\sum\limits \delta(t-nT)\)
两边同时进行傅里叶变换有：
\[\hat{X}_{a}(\omega) = \frac{1}{2\pi}[ X(\omega)* \Delta(\omega) ]
\]
其中\(\Delta (\omega)\)是周期函数\(\delta_{t}(t)\)的傅里叶变换
对于周期函数\(\delta_{T}(t)\)，有傅里叶级数：
\[\delta_{T}(t) = \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty} c_{n}e^{jn\Omega_{s}t}
\]
\(\Omega_{s}\)是采样角频率，其中的\(c_{n}\)有：
\[\begin{aligned}
c_{n} &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^ {\frac{T}{2}}\delta_{T}(t)e^{-j\Omega_{s}t}dt\\
&=\frac{1}{T}
\end{aligned}
\]
带入上式有：
\[\Delta(w) = \mathcal{F}\left[\frac{1}{T}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\Omega_{s}t}\right]= \frac{1}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}2\pi \delta(\omega-k\Omega_{s} )
\]
再带入上式进行卷积运算有：
\[\hat{X}_{a}(\omega) = \frac{1}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X_{a}(j\theta)\cdot \delta(j(\omega - \Omega_s)-j\theta)d\theta = \frac{1}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}X_{a}(j\omega - jk\Omega_{s})
\]
可以看到，在采样周期为T的情况下，采样频率是原频率的一个周期延拓。
可以假设如图，原序列最高频率为 \(\Omega_h\)，则要想周期延拓后频率不发生交集，则必须有：
\[\Omega_{s}>2\Omega_h
\]
或者：
\[2f_{s}<f_{h}
\]
至于复原，可以乘以一个适当的傅域“礼帽序列”
