【数学·线性代数】线性方程组

2.2.线性方程组

2.2.1.初等矩阵变换

把某一行乘一个非零的数；
交换某两行；
把某行的若干倍加到另一行上去。

2.2.2.高斯消元解m×n线性方程组\(O(mn^2)\)

\(\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\\vdots\\a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\Rightarrow [A,b]=A'_{m×(n+1)}\)

高斯消元化\(A'_{m×(n+1)}\)的A为行最简形，得到\(A''_{m×(n+1)}\)：

h和l都从1开始。借助循环依次处理第1~n列。对于第l列：

在第h~m行中，找到第l列系数的绝对值最大的一行\(h_{max}\)。

如果该系数不为0，记录\(key_h=l\)。

否则，第h~m行的第l列全是0，结束本轮循环，不要执行循环底部的h++，只执行l++处理完第l列。
将第\(h_{max}\)行与第h行交换。（交换某两行）
将交换后的第h行的第一个有效数字（第l列）变成1。（把某一行乘一个非零的数）
将上下除第h行外的所有行的第l列清成0。（把某行的若干倍加到另一行上去）
执行循环底部的h++。

执行后如果h>m，跳出循环；否则执行l++处理完第l列。

r(A)=h-1。

判断解的个数：

有解 \(\Leftrightarrow\) r(A)==r([A,b]) \(\Leftrightarrow\) \(\forall i\in[r(A)+1,m]\cap\mathbb{Z},A''_{i,n+1}==0\)。
- 有唯一解 \(\Leftrightarrow\) r(A) == r([A,b]) == n。
- 否则有无穷多解。
否则无解。

求出一个合法解：

令\(x_{key_i}=A''_{i,n+1},i\in[1,r(A)]\cap\mathbb{Z}\)，其余的即为自由变量\(x_j=0\)。

若要求出其他的合法解，则令自由变量\(x_j\)取任意常数，代入方程求出\(x_{key_i}\)。

//i：m；j：n
int m,n;
double a[M][N],x[N];
int ra,key[M];

int gauss()
{
    //高斯消元化A'_{m×(n+1)}的A为行最简形，得到A''_{m×(n+1)}
    int h,l;
    for(h=1,l=1;l<=n;l++)   //h和l都从1开始。借助循环依次处理第1~n列
    {
        //在第h~m行中，找到第l列系数的绝对值最大的一行h_max
        int h_max=h;
        for(int i=h+1;i<=m;i++)
            if(dcmp(fabs(a[i][l]),fabs(a[h_max][l]))>0)
                h_max=i;
        if(dcmp(fabs(a[h_max][l]),0)>0) key[h]=l;   //如果该系数不为0，记录key_h=l
        else continue;  //否则，第h~m行的第l列全是0，结束本轮循环，不要执行循环底部的h++，只执行l++处理完第l列
        
        //将第h_max行与第h行交换。（交换某两行）
        for(int j=l;j<=n+1;j++) swap(a[h][j],a[h_max][j]);
        
        //将交换后的第h行的第一个有效数字（第l列）变成1。（把某一行乘一个非零的数）
        for(int j=n+1;j>=l;j--) a[h][j]/=a[h][l];
        
        //将上下除第h行外的所有行的第l列清成0。（把某行的若干倍加到另一行上去）
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            if(i==h) continue;
            for(int j=n+1;j>=l;j--) //倒序是因为要用到a[i][l]被清成0之前的值，到l为止是因为a[1~l-1]已经被上面清成0了
                a[i][j]-=a[h][j]*a[i][l];   //把某行的若干倍加到另一行上去，达到下面所有行的第l列清成0的目的
                //思维：此时可以把外层循环i看作定值，且a[h][l]=1
        }
        
        //执行循环底部的h++
        h++;
        if(h>m) break;  //执行后如果h>m，跳出循环；否则执行l++处理完第l列
    }
    
    ra=h-1;
    
    //判断解的个数
    for(int i=ra+1;i<=m;i++)
        if(dcmp(a[i][n+1],0)!=0)
            return 0;
    if(ra!=n) return 2;
    return 1;
}

int cnt=gauss();
if(cnt==0) puts("No solution");
else
{
    if(cnt==1) puts("Unique solution");
    else puts("Infinite group solutions");
    
    //求出一个合法解
    for(int j=1;j<=n;j++) x[j]=0;
    for(int i=1;i<=ra;i++) x[key[i]]=a[i][n+1];
    for(int j=1;j<=n;j++) printf("%.2lf\n",x[j]);
}

2.2.3.高斯消元解m×n线性异或方程组\(O(mn^2)\)

\(\begin{cases}a_{11}x_1\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}a_{1n}x_n=b_1\\\vdots\\a_{m1}x_1\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\Rightarrow[A,b]=A'_{m×(n+1)}\\a_{ij}\in\{0,1\}\)

特别地，\(\begin{cases}(a_{11}\operatorname{and}x_1)\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}(a_{1n}\operatorname{and}x_n)=b_1\\\vdots\\(a_{m1}\operatorname{and}x_1)\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}(a_{mn}\operatorname{and}x_n)=b_m\end{cases}\Rightarrow[A,b]=A'_{m×(n+1)}\\a_{ij},x_i,b_i\in\{0,1\}\)是01线性异或方程组。

异或运算\(\operatorname{xor}\)\(\Leftrightarrow\)不进位加法。

与运算\(\operatorname{and}\)\(\Leftrightarrow\)模2意义下乘法。