【基础算法】二分

4.二分

适用条件：具有单调性的问题。

4.1.STL

在从小到大的排序数组中：

lower_bound(begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

upper_bound(begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

在从大到小的排序数组中，重载lower_bound()和upper_bound()：

lower_bound(begin,end,num,greater<type>()):从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

upper_bound(begin,end,num,greater<type>()):从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

4.2.整数集合上的二分

4.2.1.整数集合上的二分

• l=mid？r=mid？

  令长度为2的区间l=1，r=2。看是l=mid还是r=mid会缩小为长度为1区间。

• 保左？保右？

  代码

  令长度为2的区间l=1，r=2。如果mid是偏向l（r），则该二分是保左（右）。

  如果mid是恰好可行的（==）且保左（右），就令r=mid（l=mid）。（因为mid本身就是偏左（右））

  问题

  保左（右）：边界mid在答案位置ans的左（右）边。 此时l（r）会向mid的右（左）边一单位跳到答案位置。

  4种情况（0代表check(mid)=false，1代表true）：01找最后一个0、01找第一个1、10找最后一个1、10找第一个0。

  根据问题选择保左的二分还是保右的二分。

• 无解？

  对于保左写法（mid=(l+r)>>1），mid不会取到r这个值，因此可以把最初的二分区间[1,n]扩大为[1,n+1]，若最终l==n+1，无解。

  对于保右写法（mid=(l+r+1)>>1），mid不会取到l这个值，因此可以把最初的二分区间[1,n]扩大为[0,n]，若最终l==0，无解。

在单调序列a中查找≥x最小的一个（x或x的后继、01找第一个1、10找第一个0），保左：

while(l<r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(a[mid]>=x) r=mid;
    else l=mid+1;
}
return a[l];//思维：此时l==r

在单调序列a中查找≤x最大的一个（x或x的前躯、01找最后一个0、10找最后一个1），保右：

while(l<r)
{
    int mid=(l+r+1)>>1;
    if(a[mid]<=x) l=mid;
    else r=mid-1;
}
return a[r];//思维：此时l==r

4.2.2.二分答案转为判定

这个思想在很多算法中都有涉猎。

适用条件：具有“单调性”值域的问题：
设定义域为该问题下可行方案，则值域为该方案的评分，最优解就是评估分最高S的方案。\(\forall x>S\)，都不存在一个合法的方案达到x分；\(\forall x≤S\)，一定存在一个合法的方案达到或超过x分。
又或者说方案一段全部合法另一段全部不合法。

把最优性问题转化为可行性问题，简化题目。

注意保左保右的问题。详见上文。

技巧

• 求绝对值|c-x|最小值：可拆成小于c的最大x和大于c的最小x两个子问题。
• 求check()方案时，要在 while(l<r) 循环后 check(l)，不可以在while(l<r)循环内的if(check(mid))后记录方案，因为有可能mid一直非法到最后l=r=1就没有记录方案了。

4.3.实数域上的二分

while(r-l>EPS)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(check(mid)) l=mid;//mid还需要再大一点
    else r=mid;//mid还需要再小一点
}
return l;//思维：此时l==r。偶尔取l（或r）会有精度问题，需要换着取r（或l）试试