《hello-algo》排序 —— 小记随笔

排序算法

「排序算法 sorting algorithm」用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更高效地查找、分析和处理。

评价维度

• 运行效率：我们期望排序算法的时间复杂度尽量低，且总体操作数量较少（时间复杂度中的常数项变小）。对于大数据量的情况，运行效率显得尤为重要。

• 就地性：顾名思义，「原地排序」通过在原数组上直接操作实现排序，无须借助额外的辅助数组，从而节省内存。通常情况下，原地排序的数据搬运操作较少，运行速度也更快。

• 稳定性：「稳定排序」在完成排序后，相等元素在数组中的相对顺序不发生改变。
  稳定排序是多级排序场景的必要条件。假设我们有一个存储学生信息的表格，第 1 列和第 2 列分别是姓名和年龄。在这种情况下，「非稳定排序」可能导致输入数据的有序性丧失：

# 输入数据是按照姓名排序好的
# (name, age)
  ('A', 19)
  ('B', 18)
  ('C', 21)
  ('D', 19)
  ('E', 23)

# 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表，
# 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变，
# 输入数据按姓名排序的性质丢失
  ('B', 18)
  ('D', 19)
  ('A', 19)
  ('C', 21)
  ('E', 23)

• 自适应性：「自适应排序」的时间复杂度会受输入数据的影响，即最佳时间复杂度、最差时间复杂度、平均时间复杂度并不完全相等。
  自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。

• 是否基于比较：「基于比较的排序」依赖比较运算符（(<)、(=)、(>)）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 (O(n \log n)) 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 (O(n)) ，但其通用性相对较差。

理想排序算法

运行快、原地、稳定、正向自适应、通用性好。显然，迄今为止尚未发现兼具以上所有特性的排序算法。因此，在选择排序算法时，需要根据具体的数据特点和问题需求来决定。

选择排序

「选择排序 selection sort」的工作原理非常简单：开启一个循环，每轮从未排序区间选择最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

设数组的长度为 (n)

• 初始状态下，所有元素未排序，即未排序（索引）区间为 ([0, n-1]) 。
• 选取区间 ([0, n-1]) 中的最小元素，将其与索引 (0) 处的元素交换。完成后，数组前 1 个元素已排序。
• 选取区间 ([1, n-1]) 中的最小元素，将其与索引 (1) 处的元素交换。完成后，数组前 2 个元素已排序。
• 以此类推。经过 (n - 1) 轮选择与交换后，数组前 (n - 1) 个元素已排序。
• 仅剩的一个元素必定是最大元素，无须排序，因此数组排序完成。

/* 选择排序 */
func selectionSort(nums []int) {
    n := len(nums)
    // 外循环：未排序区间为 [i, n-1]
    for i := 0; i < n-1; i++ {
        // 内循环：找到未排序区间内的最小元素
        k := i
        for j := i + 1; j < n; j++ {
            if nums[j] < nums[k] {
                // 记录最小元素的索引
                k = j
            }
        }
        // 将该最小元素与未排序区间的首个元素交换
        nums[i], nums[k] = nums[k], nums[i]

    }
}

算法特性

• 时间复杂度为 (O(n^2))、非自适应排序：外循环共 (n - 1) 轮，第一轮的未排序区间长度为 (n) ，最后一轮的未排序区间长度为 (2) ，即各轮外循环分别包含 (n)、(n - 1)、(\dots)、(3)、(2) 轮内循环，求和为 (\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}) 。
• 空间复杂度为 (O(1))、原地排序：指针 (i) 和 (j) 使用常数大小的额外空间。
• 非稳定排序：如图 11-3 所示，元素 nums[i] 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者的相对顺序发生改变。

冒泡排序

「冒泡排序 bubble sort」通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。

算法流程

设数组的长度为 (n)

• 首先，对 (n) 个元素执行“冒泡”，将数组的最大元素交换至正确位置。
• 接下来，对剩余 (n - 1) 个元素执行“冒泡”，将第二大元素交换至正确位置。
• 以此类推，经过 (n - 1) 轮“冒泡”后，前 (n - 1) 大的元素都被交换至正确位置。
• 仅剩的一个元素必定是最小元素，无须排序，因此数组排序完成。

/* 冒泡排序 */
func bubbleSort(nums []int) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for j := 0; j < i; j++ {
            if nums[j] > nums[j+1] {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                nums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]
            }
        }
    }
}

效率优化

我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 flag 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。

/* 冒泡排序（标志优化）*/
func bubbleSortWithFlag(nums []int) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
        flag := false // 初始化标志位
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for j := 0; j < i; j++ {
            if nums[j] > nums[j+1] {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                nums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]
                flag = true // 记录交换元素
            }
        }
        if flag == false { // 此轮“冒泡”未交换任何元素，直接跳出
            break
        }
    }
}

算法特性

• 时间复杂度为 (O(n^2))、自适应排序：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 (n - 1)、(n - 2)、(\dots)、(2)、(1) ，总和为 ((n - 1) n / 2) 。在引入 flag 优化后，最佳时间复杂度可达到 (O(n)) 。
• 空间复杂度为 (O(1))、原地排序：指针 (i) 和 (j) 使用常数大小的额外空间。
• 稳定排序：由于在“冒泡”中遇到相等元素不交换。

插入排序

「插入排序 insertion sort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。

具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。

算法流程

• 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
• 选取数组的第 2 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 2 个元素已排序。
• 选取第 3 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 3 个元素已排序。
• 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序。

/* 插入排序 */
func insertionSort(nums []int) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        base := nums[i]
        j := i - 1
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        for j >= 0 && nums[j] > base {
            nums[j+1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--
        }
        nums[j+1] = base // 将 base 赋值到正确位置
    }
}

算法特性

• 时间复杂度为 (O(n^2))、自适应排序：在最差情况下，每次插入操作分别需要循环 (n - 1)、(n-2)、(\dots)、(2)、(1) 次，求和得到 ((n - 1) n / 2) ，因此时间复杂度为 (O(n^2)) 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 (O(n)) 。
• 空间复杂度为 (O(1))、原地排序：指针 (i) 和 (j) 使用常数大小的额外空间。
• 稳定排序：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。

插入排序的优势

插入排序的时间复杂度为 (O(n^2)) ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 (O(n \log n)) 。尽管插入排序的时间复杂度更高，但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快。

这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 (O(n \log n)) 的算法属于基于分治策略的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，(n^2) 和 (n \log n) 的数值比较接近，复杂度不占主导地位，每轮中的单元操作数量起到决定性作用。

实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治策略的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。

虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 (O(n^2)) ，但在实际情况中，插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序，主要有以下原因。

• 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高。
• 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 (O(n^2)) 。如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高。
• 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。

快速排序

「快速排序 quick sort」是一种基于分治策略的排序算法，运行高效，应用广泛。

快速排序的核心操作是“哨兵划分”，其目标是：选择数组中的某个元素作为“基准数”，将所有小于基准数的元素移到其左侧，而大于基准数的元素移到其右侧。具体来说，哨兵划分的流程如图 11-8 所示。

1. 选取数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 i 和 j 分别指向数组的两端。
2. 设置一个循环，在每轮中使用 i（j）分别寻找第一个比基准数大（小）的元素，然后交换这两个元素。
3. 循环执行步骤 2. ，直到 i 和 j 相遇时停止，最后将基准数交换至两个子数组的分界线。

哨兵划分完成后，原数组被划分成三部分：左子数组、基准数、右子数组，且满足“左子数组任意元素 (\leq) 基准数 (\leq) 右子数组任意元素”。因此，我们接下来只需对这两个子数组进行排序。

/* 哨兵划分 */
func (q *quickSort) partition(nums []int, left, right int) int {
    // 以 nums[left] 为基准数
    i, j := left, right
    for i < j {
        for i < j && nums[j] >= nums[left] {
            j-- // 从右向左找首个小于基准数的元素
        }
        for i < j && nums[i] <= nums[left] {
            i++ // 从左向右找首个大于基准数的元素
        }
        // 元素交换
        nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    }
    // 将基准数交换至两子数组的分界线
    nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
    return i // 返回基准数的索引
}

算法流程

1. 首先，对原数组执行一次“哨兵划分”，得到未排序的左子数组和右子数组。
2. 然后，对左子数组和右子数组分别递归执行“哨兵划分”。
3. 持续递归，直至子数组长度为 1 时终止，从而完成整个数组的排序。

/* 快速排序 */
func (q *quickSort) quickSort(nums []int, left, right int) {
    // 子数组长度为 1 时终止递归
    if left >= right {
        return
    }
    // 哨兵划分
    pivot := q.partition(nums, left, right)
    // 递归左子数组、右子数组
    q.quickSort(nums, left, pivot-1)
    q.quickSort(nums, pivot+1, right)
}

算法特性

• 时间复杂度为 (O(n \log n))、自适应排序：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 (\log n) ，每层中的总循环数为 (n) ，总体使用 (O(n \log n)) 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 (n) 的数组划分为长度为 (0) 和 (n - 1) 的两个子数组，此时递归层数达到 (n) ，每层中的循环数为 (n) ，总体使用 (O(n^2)) 时间。
• 空间复杂度为 (O(n))、原地排序：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 (n) ，使用 (O(n)) 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。
• 非稳定排序：在哨兵划分的最后一步，基准数可能会被交换至相等元素的右侧。

快速排序为什么快

从名称上就能看出，快速排序在效率方面应该具有一定的优势。尽管快速排序的平均时间复杂度与“归并排序”和“堆排序”相同，但通常快速排序的效率更高，主要有以下原因。

• 出现最差情况的概率很低：虽然快速排序的最差时间复杂度为 (O(n^2)) ，没有归并排序稳定，但在绝大多数情况下，快速排序能在 (O(n \log n)) 的时间复杂度下运行。
• 缓存使用效率高：在执行哨兵划分操作时，系统可将整个子数组加载到缓存，因此访问元素的效率较高。而像“堆排序”这类算法需要跳跃式访问元素，从而缺乏这一特性。
• 复杂度的常数系数小：在上述三种算法中，快速排序的比较、赋值、交换等操作的总数量最少。这与“插入排序”比“冒泡排序”更快的原因类似。

基准数优化

快速排序在某些输入下的时间效率可能降低。举一个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选择最左端元素作为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，导致左子数组长度为 (n - 1)、右子数组长度为 (0) 。如此递归下去，每轮哨兵划分后都有一个子数组的长度为 (0) ，分治策略失效，快速排序退化为“冒泡排序”的近似形式。

为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化哨兵划分中的基准数的选取策略。例如，我们可以随机选取一个元素作为基准数。然而，如果运气不佳，每次都选到不理想的基准数，效率仍然不尽如人意。

需要注意的是，编程语言通常生成的是“伪随机数”。如果我们针对伪随机数序列构建一个特定的测试样例，那么快速排序的效率仍然可能劣化。

为了进一步改进，我们可以在数组中选取三个候选元素（通常为数组的首、尾、中点元素），并将这三个候选元素的中位数作为基准数。这样一来，基准数“既不太小也不太大”的概率将大幅提升。当然，我们还可以选取更多候选元素，以进一步提高算法的稳健性。采用这种方法后，时间复杂度劣化至 (O(n^2)) 的概率大大降低。

/* 选取三个候选元素的中位数 */
func (q *quickSortMedian) medianThree(nums []int, left, mid, right int) int {
    // 此处使用异或运算来简化代码（!= 在这里起到异或的作用）
    // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
    if (nums[left] < nums[mid]) != (nums[left] < nums[right]) {
        return left
    } else if (nums[mid] < nums[left]) != (nums[mid] < nums[right]) {
        return mid
    }
    return right
}

/* 哨兵划分（三数取中值）*/
func (q *quickSortMedian) partition(nums []int, left, right int) int {
    // 以 nums[left] 为基准数
    med := q.medianThree(nums, left, (left+right)/2, right)
    // 将中位数交换至数组最左端
    nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
    // 以 nums[left] 为基准数
    i, j := left, right
    for i < j {
        for i < j && nums[j] >= nums[left] {
            j-- //从右向左找首个小于基准数的元素
        }
        for i < j && nums[i] <= nums[left] {
            i++ //从左向右找首个大于基准数的元素
        }
        //元素交换
        nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    }
    //将基准数交换至两子数组的分界线
    nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
    return i //返回基准数的索引
}

尾递归优化

在某些输入下，快速排序可能占用空间较多。以完全有序的输入数组为例，设递归中的子数组长度为 (m) ，每轮哨兵划分操作都将产生长度为 (0) 的左子数组和长度为 (m - 1) 的右子数组，这意味着每一层递归调用减少的问题规模非常小（只减少一个元素），递归树的高度会达到 (n - 1) ，此时需要占用 (O(n)) 大小的栈帧空间。

为了防止栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，比较两个子数组的长度，仅对较短的子数组进行递归。由于较短子数组的长度不会超过 (n / 2) ，因此这种方法能确保递归深度不超过 (\log n) ，从而将最差空间复杂度优化至 (O(\log n)) 。代码如下所示：

/* 快速排序（尾递归优化）*/
/* 快速排序（尾递归优化）*/
func (q *quickSortTailCall) quickSort(nums []int, left, right int) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    for left < right {
        // 哨兵划分操作
        pivot := q.partition(nums, left, right)
        // 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
        if pivot-left < right-pivot {
            q.quickSort(nums, left, pivot-1) // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1                 // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            q.quickSort(nums, pivot+1, right) // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1                 // 剩余未排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}

归并排序

「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。

1. 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
2. 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

算法流程

“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。

1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）。
2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时终止。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

• 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
• 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

/* 合并左子数组和右子数组 */
func merge(nums []int, left, mid, right int) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    tmp := make([]int, right-left+1)
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    i, j, k := left, mid+1, 0
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    for i <= mid && j <= right {
        if nums[i] <= nums[j] {
            tmp[k] = nums[i]
            i++
        } else {
            tmp[k] = nums[j]
            j++
        }
        k++
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    for i <= mid {
        tmp[k] = nums[i]
        i++
        k++
    }
    for j <= right {
        tmp[k] = nums[j]
        j++
        k++
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for k := 0; k < len(tmp); k++ {
        nums[left+k] = tmp[k]
    }
}

/* 归并排序 */
func mergeSort(nums []int, left, right int) {
    // 终止条件
    if left >= right {
        return
    }
    // 划分阶段
    mid := (left + right) / 2
    mergeSort(nums, left, mid)
    mergeSort(nums, mid+1, right)
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)
}

算法特性

• 时间复杂度为 (O(n \log n))、非自适应排序：划分产生高度为 (\log n) 的递归树，每层合并的总操作数量为 (n) ，因此总体时间复杂度为 (O(n \log n)) 。
• 空间复杂度为 (O(n))、非原地排序：递归深度为 (\log n) ，使用 (O(\log n)) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 (O(n)) 大小的额外空间。
• 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

链表排序

对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 (O(1)) 。

• 划分阶段：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
• 合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。

堆排序

「堆排序 heap sort」是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。

1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
2. 不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。
   以上方法虽然可行，但需要借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。

算法流程

设数组的长度为 (n) ，堆排序的流程如图 11-12 所示。

1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 (1) ，已排序元素数量加 (1) 。
3. 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（sift down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
4. 循环执行第 2. 步和第 3. 步。循环 (n - 1) 轮后，即可完成数组排序。

在代码实现中，我们使用了与“堆”章节相同的从顶至底堆化 sift_down() 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 sift_down() 函数添加一个长度参数 (n) ，用于指定堆的当前有效长度。

/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(nums *[]int, n, i int) {
    for true {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        l := 2*i + 1
        r := 2*i + 2
        ma := i
        if l < n && (*nums)[l] > (*nums)[ma] {
            ma = l
        }
        if r < n && (*nums)[r] > (*nums)[ma] {
            ma = r
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i {
            break
        }
        // 交换两节点
        (*nums)[i], (*nums)[ma] = (*nums)[ma], (*nums)[i]
        // 循环向下堆化
        i = ma
    }
}

/* 堆排序 */
func heapSort(nums *[]int) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i := len(*nums)/2 - 1; i >= 0; i-- {
        siftDown(nums, len(*nums), i)
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for i := len(*nums) - 1; i > 0; i-- {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        (*nums)[0], (*nums)[i] = (*nums)[i], (*nums)[0]
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0)
    }
}

算法特性

• 时间复杂度为 (O(n \log n))、非自适应排序：建堆操作使用 (O(n)) 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 (O(\log n)) ，共循环 (n - 1) 轮。
• 空间复杂度为 (O(1))、原地排序：几个指针变量使用 (O(1)) 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
• 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。

桶排序

我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。

「桶排序 bucket sort」是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。

算法流程

考虑一个长度为 (n) 的数组，其元素是范围 ([0, 1)) 内的浮点数。桶排序的流程如图 11-13 所示。

• 初始化 (k) 个桶，将 (n) 个元素分配到 (k) 个桶中。
• 对每个桶分别执行排序（这里采用编程语言的内置排序函数）。
• 按照桶从小到大的顺序合并结果。

/* 桶排序 */
func bucketSort(nums []float64) {
    // 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
    k := len(nums) / 2
    buckets := make([][]float64, k)
    for i := 0; i < k; i++ {
        buckets[i] = make([]float64, 0)
    }
    // 1. 将数组元素分配到各个桶中
    for _, num := range nums {
        // 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
        i := int(num * float64(k))
        // 将 num 添加进桶 i
        buckets[i] = append(buckets[i], num)
    }
    // 2. 对各个桶执行排序
    for i := 0; i < k; i++ {
        // 使用内置切片排序函数，也可以替换成其他排序算法
        sort.Float64s(buckets[i])
    }
    // 3. 遍历桶合并结果
    i := 0
    for _, bucket := range buckets {
        for _, num := range bucket {
            nums[i] = num
            i++
        }
    }
}

算法特性

桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

• 时间复杂度为 (O(n + k)) ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 (\frac{n}{k}) 。假设排序单个桶使用 (O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})) 时间，则排序所有桶使用 (O(n \log\frac{n}{k})) 时间。当桶数量 (k) 比较大时，时间复杂度则趋向于 (O(n)) 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 (O(n + k)) 时间。
• 自适应排序：在最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 (O(n^2)) 时间。
• 空间复杂度为 (O(n + k))、非原地排序：需要借助 (k) 个桶和总共 (n) 个元素的额外空间。
• 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。

如何实现平均分配

桶排序的时间复杂度理论上可以达到 (O(n)) ，关键在于将元素均匀分配到各个桶中，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 个，各个桶中的商品数量差距会非常大。

为实现平均分配，我们可以先设定一条大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等。

如图 11-14 所示，这种方法本质上是创建一棵递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。

如果我们提前知道商品价格的概率分布，则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。

计数排序

「计数排序 counting sort」通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

简单实现

先来看一个简单的例子。给定一个长度为 (n) 的数组 nums ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如图 11-16 所示。

• 遍历数组，找出其中的最大数字，记为 (m) ，然后创建一个长度为 (m + 1) 的辅助数组 counter 。
• 借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums（设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 增加 (1) 即可。
• 由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经排序好了。接下来，我们遍历 counter ，根据各数字出现次数从小到大的顺序填入 nums 即可。

/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
func countingSortNaive(nums []int) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    m := 0
    for _, num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    for i, num := 0, 0; num < m+1; num++ {
        for j := 0; j < counter[num]; j++ {
            nums[i] = num
            i++
        }
    }
}

从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 counter 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。

完整实现

细心的读者可能发现了，如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。假设输入数据是商品对象，我们想按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。

那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的“前缀和”。顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和：

[ \text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]} ]

前缀和具有明确的意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引

这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行以下两步。

1. 将 num 填入数组 res 的索引 prefix[num] - 1 处。
2. 令前缀和 prefix[num] 减小 (1) ，从而得到下次放置 num 的索引。

遍历完成后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可。

/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
func countingSort(nums []int) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    m := 0
    for _, num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i := 0; i < m; i++ {
        counter[i+1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    n := len(nums)
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        num := nums[i]
        // 将 num 放置到对应索引处
        res[counter[num]-1] = num
        // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
        counter[num]--
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    copy(nums, res)
}

算法特性

• 时间复杂度为 (O(n + m)) ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 (n \gg m) ，时间复杂度趋于 (O(n)) 。
• 空间复杂度为 (O(n + m))、非原地排序：借助了长度分别为 (n) 和 (m) 的数组 res 和 counter 。
• 稳定排序：由于向 res 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。

局限性

看到这里，你也许会觉得计数排序非常巧妙，仅通过统计数量就可以实现高效的排序。然而，使用计数排序的前置条件相对较为严格。

计数排序只适用于非负整数。若想将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去。

计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如，在上述示例中 (m) 不能太大，否则会占用过多空间。而当 (n \ll m) 时，计数排序使用 (O(m)) 时间，可能比 (O(n \log n)) 的排序算法还要慢。

基数排序

上一节介绍了计数排序，它适用于数据量 (n) 较大但数据范围 (m) 较小的情况。假设我们需要对 (n = 10^6) 个学号进行排序，而学号是一个 (8) 位数字，这意味着数据范围 (m = 10^8) 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

「基数排序 radix sort」的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

算法流程

以学号数据为例，假设数字的最低位是第 (1) 位，最高位是第 (8) 位，基数排序的流程如图 11-18 所示。

• 初始化位数 (k = 1) 。
• 对学号的第 (k) 位执行“计数排序”。完成后，数据会根据第 (k) 位从小到大排序。
• 将 (k) 增加 (1) ，然后返回步骤 2. 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。

下面剖析代码实现。对于一个 (d) 进制的数字 (x) ，要获取其第 (k) 位 (x_k) ，可以使用以下计算公式：

[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d ]
其中 (\lfloor a \rfloor) 表示对浮点数 (a) 向下取整，而 (\bmod : d) 表示对 (d) 取模（取余）。对于学号数据，(d = 10) 且 (k \in [1, 8]) 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 (k) 位进行排序：

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num, exp int) int {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
    counter := make([]int, 10)
    n := len(nums)
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i := 0; i < n; i++ {
        d := digit(nums[i], exp) // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++             // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i := 1; i < 10; i++ {
        counter[i] += counter[i-1]
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        d := digit(nums[i], exp)
        j := counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]    // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--        // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for i := 0; i < n; i++ {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基数排序 */
func radixSort(nums []int) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    max := math.MinInt
    for _, num := range nums {
        if num > max {
            max = num
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp)
    }
}

在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 (a < b) ，而第二轮排序结果 (a > b) ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，因此应该先排序低位再排序高位。

算法特性

相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 (k) 过大，可能导致时间复杂度 (O(nk) \gg O(n^2)) 。

• 时间复杂度为 (O(nk))：设数据量为 (n)、数据为 (d) 进制、最大位数为 (k) ，则对某一位执行计数排序使用 (O(n + d)) 时间，排序所有 (k) 位使用 (O((n + d)k)) 时间。通常情况下，(d) 和 (k) 都相对较小，时间复杂度趋向 (O(n)) 。
• 空间复杂度为 (O(n + d))、非原地排序：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 (n) 和 (d) 的数组 res 和 counter 。
• 稳定排序：当计数排序稳定时，基数排序也稳定；当计数排序不稳定时，基数排序无法保证得到正确的排序结果

总结