《深入浅出计算机组成原理》指令和运算 —— 小记随笔
计算机指令：让我们试试用纸带编程
思维导图
上大学的时候，我们系里教 C 语言程序设计的老师说，他们当年学写程序的时候，不像现在这样，都是用一种古老的物理设备，叫作“打孔卡（Punched Card）”。用这种设备写程序，可没法像今天这样，掏出键盘就能打字，而是要先在脑海里或者在纸上写出程序，然后在纸带或者卡片上打洞。这样，要写的程序、要处理的数据，就变成一条条纸带或者一张张卡片，之后再交给当时的计算机去处理。
为什么早期的计算机程序要使用打孔卡，而不能像我们现在一样，用 C 或者 Python 这样的高级语言来写呢？原因很简单，因为计算机或者说 CPU 本身，并没有能力理解这些高级语言。即使在 2019 年的今天，我们使用的现代个人计算机，仍然只能处理所谓的“机器码”，也就是一连串的“0”和“1”这样的数字。
在软硬件接口中，CPU 帮我们做了什么事？
CPU 就是计算机的大脑。CPU 的全称是 Central Processing Unit，中文是中央处理器。从硬件的角度来看，CPU 就是一个超大规模集成电路，通过电路实现了加法、乘法乃至各种各样的处理逻辑。
如果我们从软件工程师的角度来讲，CPU 就是一个执行各种计算机指令（Instruction Code）的逻辑机器。这里的计算机指令，就好比一门 CPU 能够听得懂的语言，我们也可以把它叫作机器语言（Machine Language）。
不同的 CPU 能够听懂的语言不太一样。比如，我们的个人电脑用的是 Intel 的 CPU，苹果手机用的是 ARM 的 CPU。这两者能听懂的语言就不太一样。类似这样两种 CPU 各自支持的语言，就是两组不同的计算机指令集，英文叫 Instruction Set。这里面的“Set”，其实就是数学上的集合，代表不同的单词、语法。
一个计算机程序，不可能只有一条指令，而是由成千上万条指令组成的。但是 CPU 里不能一直放着所有指令，所以计算机程序平时是存储在存储器中的。这种程序指令存储在存储器里面的计算机，我们就叫作存储程序型计算机（Stored-program Computer）。
从编译到汇编，代码怎么变成机器码？
我们拿一小段真实的 C 语言程序来看看。
// test.c
int main()
{
int a = 1;
int b = 2;
a = a + b;
}
要让这段程序在一个 Linux 操作系统上跑起来，我们需要把整个程序翻译成一个汇编语言（ASM，Assembly Language）的程序，这个过程我们一般叫编译（Compile）成汇编代码。
针对汇编代码，我们可以再用汇编器（Assembler）翻译成机器码（Machine Code）。这些机器码由“0”和“1”组成的机器语言表示。这一条条机器码，就是一条条的计算机指令。这样一串串的 16 进制数字，就是我们 CPU 能够真正认识的计算机指令。
##在一个 Linux 操作系统上，我们可以简单地使用 gcc 和 objdump 这样两条命令，把对应的汇编代码和机器码都打印出来。
$ gcc -g -c test.c
$ objdump -d -M intel -S test.o
可以看到，左侧有一堆数字，这些就是一条条机器码；右边有一系列的 push、mov、add、pop 等，这些就是对应的汇编代码。
- 一行 C 语言代码，有时候只对应一条机器码和汇编代码，有时候则是对应两条机器码和汇编代码。
- 汇编代码和机器码之间是一一对应的。
test.o: file format elf64-x86-64
Disassembly of section .text:
0000000000000000 <main>:
int main()
{
0: 55 push rbp
1: 48 89 e5 mov rbp,rsp
int a = 1;
4: c7 45 fc 01 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x4],0x1
int b = 2;
b: c7 45 f8 02 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x8],0x2
a = a + b;
12: 8b 45 f8 mov eax,DWORD PTR [rbp-0x8]
15: 01 45 fc add DWORD PTR [rbp-0x4],eax
}
18: 5d pop rbp
19: c3 ret
我们实际在用 GCC（GUC 编译器套装，GNU Compiler Collectipon）编译器的时候，可以直接把代码编译成机器码呀，为什么还需要汇编代码呢？原因很简单，你看着那一串数字表示的机器码，是不是摸不着头脑？但是即使你没有学过汇编代码，看的时候多少也能“猜”出一些这些代码的含义。因为汇编代码其实就是“给程序员看的机器码”。
解析指令和机器码
日常用的 Intel CPU，有 2000 条左右的 CPU 指令，实在是太多了。不过一般来说，常见的指令可以分成五大类。
- 第一类是算术类指令。我们的加减乘除，在 CPU 层面，都会变成一条条算术类指令。
- 第二类是数据传输类指令。给变量赋值、在内存里读写数据，用的都是数据传输类指令。
- 第三类是逻辑类指令。逻辑上的与或非，都是这一类指令。
- 第四类是条件分支类指令。日常我们写的“if/else”，其实都是条件分支类指令。
- 最后一类是无条件跳转指令。写一些大一点的程序，我们常常需要写一些函数或者方法。在调用函数的时候，其实就是发起了一个无条件跳转指令。
不同的 CPU 有不同的指令集，也就对应着不同的汇编语言和不同的机器码。为了方便你快速理解这个机器码的计算方式，我们选用最简单的 MIPS 指令集，来看看机器码是如何生成的。
MIPS 的指令是一个 32 位的整数，高 6 位叫操作码（Opcode），也就是代表这条指令具体是一条什么样的指令，剩下的 26 位有三种格式，分别是 R、I 和 J。
- R 指令是一般用来做算术和逻辑操作，里面有读取和写入数据的寄存器的地址。如果是逻辑位移操作，后面还有位移操作的位移量，而最后的功能码，则是在前面的操作码不够的时候，扩展操作码表示对应的具体指令的。
- I 指令，则通常是用在数据传输、条件分支，以及在运算的时候使用的并非变量还是常数的时候。这个时候，没有了位移量和操作码，也没有了第三个寄存器，而是把这三部分直接合并成了一个地址值或者一个常数。
- J 指令就是一个跳转指令，高 6 位之外的 26 位都是一个跳转后的地址。
我以一个简单的加法算术指令 add t0,s1, $s2, 为例，给你解释。为了方便，我们下面都用十进制来表示对应的代码。
对应的 MIPS 指令里 opcode 是 0，rs 代表第一个寄存器 s1 的地址是 17，rt 代表第二个寄存器 s2 的地址是 18，rd 代表目标的临时寄存器 t0 的地址，是 8。因为不是位移操作，所以位移量是 0。把这些数字拼在一起，就变成了一个 MIPS 的加法指令。
为了读起来方便，我们一般把对应的二进制数，用 16 进制表示出来。在这里，也就是 0X02324020。这个数字也就是这条指令对应的机器码。
回到开头我们说的打孔带。如果我们用打孔代表 1，没有打孔代表 0，用 4 行 8 列代表一条指令来打一个穿孔纸带，那么这条命令大概就长这样：
总结延伸
除了 C 这样的编译型的语言之外，不管是 Python 这样的解释型语言，还是 Java 这样使用虚拟机的语言，其实最终都是由不同形式的程序，把我们写好的代码，转换成 CPU 能够理解的机器码来执行的。只是解释型语言，是通过解释器在程序运行的时候逐句翻译，而 Java 这样使用虚拟机的语言，则是由虚拟机对编译出来的中间代码进行解释，或者即时编译成为机器码来最终执行。
指令跳转：原来if...else就是goto
CPU 是如何执行指令的？
对于我们这些做软件的程序员来说，我们只要知道，写好的代码变成了指令之后，是一条一条顺序执行的就可以了。
逻辑上，我们可以认为，CPU 其实就是由一堆寄存器组成的。而寄存器就是 CPU 内部，由多个触发器（Flip-Flop）或者锁存器（Latches）组成的简单电路。现在我们接着前面说。N 个触发器或者锁存器，就可以组成一个 N 位（Bit）的寄存器，能够保存 N 位的数据。比方说，我们用的 64 位 Intel 服务器，寄存器就是 64 位的。
一个 CPU 里面会有很多种不同功能的寄存器。
- 一个是 PC 寄存器（Program Counter Register），我们也叫指令地址寄存器（Instruction Address Register）。顾名思义，它就是用来存放下一条需要执行的计算机指令的内存地址。
- 第二个是指令寄存器（Instruction Register），用来存放当前正在执行的指令。
- 第三个是条件码寄存器（Status Register），用里面的一个一个标记位（Flag），存放 CPU 进行算术或者逻辑计算的结果。
- CPU 里面还有更多用来存储数据和内存地址的寄存器。这样的寄存器通常一类里面不止一个。我们通常根据存放的数据内容来给它们取名字，比如整数寄存器、浮点数寄存器、向量寄存器和地址寄存器等等。有些寄存器既可以存放数据，又能存放地址，我们就叫它通用寄存器。
一个程序执行的时候，CPU 会根据 PC 寄存器里的地址，从内存里面把需要执行的指令读取到指令寄存器里面执行，然后根据指令长度自增，开始顺序读取下一条指令。可以看到，一个程序的一条条指令，在内存里面是连续保存的，也会一条条顺序加载。
而有些特殊指令，比如上一讲我们讲到 J 类指令，也就是跳转指令，会修改 PC 寄存器里面的地址值。这样，下一条要执行的指令就不是从内存里面顺序加载的了。事实上，这些跳转指令的存在，也是我们可以在写程序的时候，使用 if…else 条件语句和 while/for 循环语句的原因。
从 if…else 来看程序的执行和跳转
// test.c
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
srand(time(NULL));
int r = rand() % 2;
int a = 10;
if (r == 0)
{
a = 1;
} else {
a = 2;
}
我们把这个程序编译成汇编代码。你可以忽略前后无关的代码，只关注于这里的 if…else 条件判断语句。对应的汇编代码是这样的：
if (r == 0)
3b: 83 7d fc 00 cmp DWORD PTR [rbp-0x4],0x0
3f: 75 09 jne 4a <main+0x4a>
{
a = 1;
41: c7 45 f8 01 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x8],0x1
48: eb 07 jmp 51 <main+0x51>
}
else
{
a = 2;
4a: c7 45 f8 02 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x8],0x2
51: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
}
可以看到，这里对于 r == 0 的条件判断，被编译成了 cmp 和 jne 这两条指令。
cmp 指令比较了前后两个操作数的值，这里的 DWORD PTR 代表操作的数据类型是 32 位的整数，而[rbp-0x4]则是变量 r 的内存地址。所以，第一个操作数就是从内存里拿到的变量 r 的值。第二个操作数 0x0 就是我们设定的常量 0 的 16 进制表示。cmp 指令的比较结果，会存入到条件码寄存器当中去。在这里，如果比较的结果是 True，也就是 r == 0，就把零标志条件码（对应的条件码是 ZF，Zero Flag）设置为 1。除了零标志之外，Intel 的 CPU 下还有进位标志（CF，Carry Flag）、符号标志（SF，Sign Flag）以及溢出标志（OF，Overflow Flag），用在不同的判断条件下。
cmp 指令执行完成之后，PC 寄存器会自动自增，开始执行下一条 jne 的指令。跟着的 jne 指令，是 jump if not equal 的意思，它会查看对应的零标志位。如果 ZF 为 1，说明上面的比较结果是 TRUE，如果是 ZF 是 0，也就是上面的比较结果是 False，会跳转到后面跟着的操作数 4a 的位置。这个 4a，对应这里汇编代码的行号，也就是上面设置的 else 条件里的第一条指令。当跳转发生的时候，PC 寄存器就不再是自增变成下一条指令的地址，而是被直接设置成这里的 4a 这个地址。这个时候，CPU 再把 4a 地址里的指令加载到指令寄存器中来执行。
跳转到执行地址为 4a 的指令，实际是一条 mov 指令，第一个操作数和前面的 cmp 指令一样，是另一个 32 位整型的内存地址，以及 2 的对应的 16 进制值 0x2。mov 指令把 2 设置到对应的内存里去，相当于一个赋值操作。然后，PC 寄存器里的值继续自增，执行下一条 mov 指令。
这条 mov 指令的第一个操作数 eax，代表累加寄存器，第二个操作数 0x0 则是 16 进制的 0 的表示。这条指令其实没有实际的作用，它的作用是一个占位符。我们回过头去看前面的 if 条件，如果满足的话，在赋值的 mov 指令执行完成之后，有一个 jmp 的无条件跳转指令。跳转的地址就是这一行的地址 51。我们的 main 函数没有设定返回值，而 mov eax, 0x0 其实就是给 main 函数生成了一个默认的为 0 的返回值到累加器里面。if 条件里面的内容执行完成之后也会跳转到这里，和 else 里的内容结束之后的位置是一样的。
如何通过 if…else 和 goto 来实现循环？
int main()
{
int a = 0;
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
a += i;
}
}
我们再看一段简单的利用 for 循环的程序。我们循环自增变量 i 三次，三次之后，i>=3，就会跳出循环。整个程序，对应的 Intel 汇编代码就是这样的：
for (int i = 0; i <= 2; i++)
b: c7 45 f8 00 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x4],0x0
12: eb 0a jmp 1e
{
a += i;
14: 8b 45 f8 mov eax,DWORD PTR [rbp-0x4]
17: 01 45 fc add DWORD PTR [rbp-0x8],eax
1a: 83 45 f8 01 add DWORD PTR [rbp-0x4],0x1
1e: 83 7d f8 02 cmp DWORD PTR [rbp-0x4],0x2
22: 7e f0 jle 14
24: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
}
可以看到，对应的循环也是用 1e 这个地址上的 cmp 比较指令，和紧接着的 jle 条件跳转指令来实现的。主要的差别在于，这里的 jle 跳转的地址，在这条指令之前的地址 14，而非 if…else 编译出来的跳转指令之后。往前跳转使得条件满足的时候，PC 寄存器会把指令地址设置到之前执行过的指令位置，重新执行之前执行过的指令，直到条件不满足，顺序往下执行 jle 之后的指令，整个循环才结束。
总结延伸
这一节，我们在单条指令的基础上，学习了程序里的多条指令，究竟是怎么样一条一条被执行的。除了简单地通过 PC 寄存器自增的方式顺序执行外，条件码寄存器会记录下当前执行指令的条件判断状态，然后通过跳转指令读取对应的条件码，修改 PC 寄存器内的下一条指令的地址，最终实现 if…else 以及 for/while 这样的程序控制流程。
想要在硬件层面实现这个 goto 语句，除了本身需要用来保存下一条指令地址，以及当前正要执行指令的 PC 寄存器、指令寄存器外，我们只需要再增加一个条件码寄存器，来保留条件判断的状态。这样简简单单的三个寄存器，就可以实现条件判断和循环重复执行代码的功能。
07 | 函数调用：为什么会发生stack overflow？
为什么我们需要程序栈？
// function_example.c
#include <stdio.h>
int static add(int a, int b)
{
return a+b;
}
int main()
{
int x = 5;
int y = 10;
int u = add(x, y);
}
我们把这个程序编译之后，objdump 出来。我们来看一看对应的汇编代码。
int static add(int a, int b)
{
0: 55 push rbp
1: 48 89 e5 mov rbp,rsp
4: 89 7d fc mov DWORD PTR [rbp-0x4],edi
7: 89 75 f8 mov DWORD PTR [rbp-0x8],esi
return a+b;
a: 8b 55 fc mov edx,DWORD PTR [rbp-0x4]
d: 8b 45 f8 mov eax,DWORD PTR [rbp-0x8]
10: 01 d0 add eax,edx
}
12: 5d pop rbp
13: c3 ret
0000000000000014 <main>:
int main()
{
14: 55 push rbp
15: 48 89 e5 mov rbp,rsp
18: 48 83 ec 10 sub rsp,0x10
int x = 5;
1c: c7 45 fc 05 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x4],0x5
int y = 10;
23: c7 45 f8 0a 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x8],0xa
int u = add(x, y);
2a: 8b 55 f8 mov edx,DWORD PTR [rbp-0x8]
2d: 8b 45 fc mov eax,DWORD PTR [rbp-0x4]
30: 89 d6 mov esi,edx
32: 89 c7 mov edi,eax
34: e8 c7 ff ff ff call 0 <add>
39: 89 45 f4 mov DWORD PTR [rbp-0xc],eax
3c: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
}
41: c9 leave
42: c3 ret
可以看出来，在这段代码里，main 函数和上一节我们讲的的程序执行区别并不大，它主要是把 jump 指令换成了函数调用的 call 指令。call 指令后面跟着的，仍然是跳转后的程序地址。
我们来看 add 函数。可以看到，add 函数编译之后，代码先执行了一条 push 指令和一条 mov 指令；在函数执行结束的时候，又执行了一条 pop 和一条 ret 指令。这四条指令的执行，其实就是在进行我们接下来要讲压栈（Push）和出栈（Pop）操作。函数调用和上一节我们讲的 if…else 和 for/while 循环有点像。它们两个都是在原来顺序执行的指令过程里，执行了一个内存地址的跳转指令，让指令从原来顺序执行的过程里跳开，从新的跳转后的位置开始执行。
但是，这两个跳转有个区别，if…else 和 for/while 的跳转，是跳转走了就不再回来了，就在跳转后的新地址开始顺序地执行指令，而函数调用的跳转，在对应函数的指令执行完了之后，还要再回到函数调用的地方，继续执行 call 之后的指令。
那我们有没有一个可以不跳转回到原来开始的地方，来实现函数的调用呢？
- 函数指令直接替换到调用处，a->b b->a 会产生无穷替换
- 使用寄存器暂存，数量不够，层次多了就会报错
计算机科学家们想到了一个比单独记录跳转回来的地址更完善的办法。我们在内存里面开辟一段空间，用栈这个后进先出（LIFO，Last In First Out）的数据结构。栈就像一个乒乓球桶，每次程序调用函数之前，我们都把调用返回后的地址写在一个乒乓球上，然后塞进这个球桶。这个操作其实就是我们常说的压栈。如果函数执行完了，我们就从球桶里取出最上面的那个乒乓球，很显然，这就是出栈。
在真实的程序里，压栈的不只有函数调用完成后的返回地址。比如函数 A 在调用 B 的时候，需要传输一些参数数据，这些参数数据在寄存器不够用的时候也会被压入栈中。整个函数 A 所占用的所有内存空间，就是函数 A 的栈帧（Stack Frame）。Frame 在中文里也有“相框”的意思，所以，每次到这里，我都有种感觉，整个函数 A 所需要的内存空间就像是被这么一个“相框”给框了起来，放在了栈里面。
而实际的程序栈布局，顶和底与我们的乒乓球桶相比是倒过来的。底在最上面，顶在最下面，这样的布局是因为栈底的内存地址是在一开始就固定的。而一层层压栈之后，栈顶的内存地址是在逐渐变小而不是变大。
图中，rbp 是 register base pointer 栈基址寄存器（栈帧指针），指向当前栈帧的栈底地址。rsp 是 register stack pointer 栈顶寄存器（栈指针），指向栈顶元素。
对应上面函数 add 的汇编代码，我们来仔细看看，main 函数调用 add 函数时，add 函数入口在 0～1 行，add 函数结束之后在 12～13 行。
我们在调用第 34 行的 call 指令时，会把当前的 PC 寄存器里的下一条指令的地址压栈，保留函数调用结束后要执行的指令地址。而 add 函数的第 0 行，push rbp 这个指令，就是在进行压栈。这里的 rbp 又叫栈帧指针（Frame Pointer），是一个存放了当前栈帧位置的寄存器。push rbp 就把之前调用函数，也就是 main 函数的栈帧的栈底地址，压到栈顶。
接着，第 1 行的一条命令 mov rbp, rsp 里，则是把 rsp 这个栈指针（Stack Pointer）的值复制到 rbp 里，而 rsp 始终会指向栈顶。这个命令意味着，rbp 这个栈帧指针指向的地址，变成当前最新的栈顶，也就是 add 函数的栈帧的栈底地址了。
而在函数 add 执行完成之后，又会分别调用第 12 行的 pop rbp 来将当前的栈顶出栈，这部分操作维护好了我们整个栈帧。然后，我们可以调用第 13 行的 ret 指令，这时候同时要把 call 调用的时候压入的 PC 寄存器里的下一条指令出栈，更新到 PC 寄存器中，将程序的控制权返回到出栈后的栈顶。
PS：以上部分其实是这样子的。
- 把调用处指令地址压栈
- 把调用处所在的函数栈底地址压栈
- 把 rbp 更新为 add 函数的栈底地址（这是为了嵌套调用函数可以服用寄存器&流程）
- 函数结束后进行第一次出栈，即把调用处所在的函数栈底地址丢弃
- 函数结束后进行第二次出栈，获取到调用处指令地址，继续执行
如何构造一个 stack overflow？
我们都只需要通过维持 rbp 和 rsp，这两个维护栈顶所在地址的寄存器，就能管理好不同函数之间的跳转。不过，栈的大小也是有限的。如果函数调用层数太多，我们往栈里压入它存不下的内容，程序在执行的过程中就会遇到栈溢出的错误，这就是大名鼎鼎的“stack overflow”。
如何利用函数内联进行性能优化？
上面我们提到一个方法，把一个实际调用的函数产生的指令，直接插入到的位置，来替换对应的函数调用指令。尽管这个通用的函数调用方案，被我们否决了，但是如果被调用的函数里，没有调用其他函数，这个方法还是可以行得通的。事实上，这就是一个常见的编译器进行自动优化的场景，我们通常叫函数内联（Inline）。
我们只要在 GCC 编译的时候，加上对应的一个让编译器自动优化的参数 -O，编译器就会在可行的情况下，进行这样的指令替换。
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
int static add(int a, int b)
{
return a+b;
}
int main()
{
srand(time(NULL));
int x = rand() % 5
int y = rand() % 10;
int u = add(x, y)
printf("u = %d\n", u)
}
编译
$ gcc -g -c -O function_example_inline.c
$ objdump -d -M intel -S function_example_inline.o
上面的 function_example_inline.c 的编译出来的汇编代码，没有把 add 函数单独编译成一段指令顺序，而是在调用 u = add(x, y) 的时候，直接替换成了一个 add 指令。
return a+b;
4c: 01 de add esi,ebx
除了依靠编译器的自动优化，你还可以在定义函数的地方，加上 inline 的关键字，来提示编译器对函数进行内联。
内联带来的优化是，CPU 需要执行的指令数变少了，根据地址跳转的过程不需要了，压栈和出栈的过程也不用了。
不过内联并不是没有代价，内联意味着，我们把可以复用的程序指令在调用它的地方完全展开了。如果一个函数在很多地方都被调用了，那么就会展开很多次，整个程序占用的空间就会变大了。
ELF和静态链接：为什么程序无法同时在Linux和Windows下运行？
编译、链接和装载：拆解程序执行
// add_lib.c
int add(int a, int b)
{
return a+b;
}
// link_example.c
#include <stdio.h>
int main()
{
int a = 10;
int b = 5;
int c = add(a, b);
printf("c = %d\n", c);
}
我们通过 gcc 来编译这两个文件，然后通过 objdump 命令看看它们的汇编代码。
$ gcc -g -c add_lib.c link_example.c
$ objdump -d -M intel -S add_lib.o
$ objdump -d -M intel -S link_example.o
add_lib.o: file format elf64-x86-64
Disassembly of section .text:
0000000000000000 <add>:
0: 55 push rbp
1: 48 89 e5 mov rbp,rsp
4: 89 7d fc mov DWORD PTR [rbp-0x4],edi
7: 89 75 f8 mov DWORD PTR [rbp-0x8],esi
a: 8b 55 fc mov edx,DWORD PTR [rbp-0x4]
d: 8b 45 f8 mov eax,DWORD PTR [rbp-0x8]
10: 01 d0 add eax,edx
12: 5d pop rbp
13: c3 ret
link_example.o: file format elf64-x86-64
Disassembly of section .text:
0000000000000000 <main>:
0: 55 push rbp
1: 48 89 e5 mov rbp,rsp
4: 48 83 ec 10 sub rsp,0x10
8: c7 45 fc 0a 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x4],0xa
f: c7 45 f8 05 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x8],0x5
16: 8b 55 f8 mov edx,DWORD PTR [rbp-0x8]
19: 8b 45 fc mov eax,DWORD PTR [rbp-0x4]
1c: 89 d6 mov esi,edx
1e: 89 c7 mov edi,eax
20: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
25: e8 00 00 00 00 call 2a <main+0x2a>
2a: 89 45 f4 mov DWORD PTR [rbp-0xc],eax
2d: 8b 45 f4 mov eax,DWORD PTR [rbp-0xc]
30: 89 c6 mov esi,eax
32: 48 8d 3d 00 00 00 00 lea rdi,[rip+0x0] # 39 <main+0x39>
39: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
3e: e8 00 00 00 00 call 43 <main+0x43>
43: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
48: c9 leave
49: c3 ret
仔细看一下 objdump 出来的两个文件的代码，会发现两个程序的地址都是从 0 开始的。如果地址是一样的，程序如果需要通过 call 指令调用函数的话，它怎么知道应该跳转到哪一个文件里呢？
这么说吧，无论是这里的运行报错，还是 objdump 出来的汇编代码里面的重复地址，都是因为 add_lib.o 以及 link_example.o 并不是一个可执行文件（Executable Program），而是目标文件（Object File）。只有通过链接器（Linker）把多个目标文件以及调用的各种函数库链接起来，我们才能得到一个可执行文件。
我们通过 gcc 的 -o 参数，可以生成对应的可执行文件，对应执行之后，就可以得到这个简单的加法调用函数的结果。
$ gcc -o link-example add_lib.o link_example.o
$ ./link_example
c = 15
实际上，“C 语言代码 - 汇编代码 - 机器码” 这个过程，在我们的计算机上进行的时候是由两部分组成的。
- 第一个部分由编译（Compile）、汇编（Assemble）以及链接（Link）三个阶段组成。在这三个阶段完成之后，我们就生成了一个可执行文件。
- 第二部分，我们通过装载器（Loader）把可执行文件装载（Load）到内存中。CPU 从内存中读取指令和数据，来开始真正执行程序。
ELF 格式和链接：理解链接过程
程序最终是通过装载器变成指令和数据的，所以其实我们生成的可执行代码也并不仅仅是一条条的指令。我们还是通过 objdump 指令，把可执行文件的内容拿出来看看。
link_example: file format elf64-x86-64
Disassembly of section .init:
...
Disassembly of section .plt:
...
Disassembly of section .plt.got:
...
Disassembly of section .text:
...
6b0: 55 push rbp
6b1: 48 89 e5 mov rbp,rsp
6b4: 89 7d fc mov DWORD PTR [rbp-0x4],edi
6b7: 89 75 f8 mov DWORD PTR [rbp-0x8],esi
6ba: 8b 55 fc mov edx,DWORD PTR [rbp-0x4]
6bd: 8b 45 f8 mov eax,DWORD PTR [rbp-0x8]
6c0: 01 d0 add eax,edx
6c2: 5d pop rbp
6c3: c3 ret
00000000000006c4 <main>:
6c4: 55 push rbp
6c5: 48 89 e5 mov rbp,rsp
6c8: 48 83 ec 10 sub rsp,0x10
6cc: c7 45 fc 0a 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x4],0xa
6d3: c7 45 f8 05 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x8],0x5
6da: 8b 55 f8 mov edx,DWORD PTR [rbp-0x8]
6dd: 8b 45 fc mov eax,DWORD PTR [rbp-0x4]
6e0: 89 d6 mov esi,edx
6e2: 89 c7 mov edi,eax
6e4: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
6e9: e8 c2 ff ff ff call 6b0 <add>
6ee: 89 45 f4 mov DWORD PTR [rbp-0xc],eax
6f1: 8b 45 f4 mov eax,DWORD PTR [rbp-0xc]
6f4: 89 c6 mov esi,eax
6f6: 48 8d 3d 97 00 00 00 lea rdi,[rip+0x97] # 794 <_IO_stdin_used+0x4>
6fd: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
702: e8 59 fe ff ff call 560 <printf@plt>
707: b8 00 00 00 00 mov eax,0x0
70c: c9 leave
70d: c3 ret
70e: 66 90 xchg ax,ax
...
Disassembly of section .fini:
...
可执行代码 dump 出来内容，和之前的目标代码长得差不多，但是长了很多。因为在 Linux 下，可执行文件和目标文件所使用的都是一种叫 ELF（Execuatable and Linkable File Format）的文件格式，中文名字叫可执行与可链接文件格式，这里面不仅存放了编译成的汇编指令，还保留了很多别的数据。
比如我们过去所有 objdump 出来的代码里，你都可以看到对应的函数名称，像 add、main 等等，乃至你自己定义的全局可以访问的变量名称，都存放在这个 ELF 格式文件里。这些名字和它们对应的地址，在 ELF 文件里面，存储在一个叫作符号表（Symbols Table）的位置里。符号表相当于一个地址簿，把名字和地址关联了起来。
我们先只关注和我们的 add 以及 main 函数相关的部分。你会发现，这里面，main 函数里调用 add 的跳转地址，不再是下一条指令的地址了，而是 add 函数的入口地址了，这就是 EFL 格式和链接器的功劳。
ELF 文件格式把各种信息，分成一个一个的 Section 保存起来。ELF 有一个基本的文件头（File Header），用来表示这个文件的基本属性，比如是否是可执行文件，对应的 CPU、操作系统等等。除了这些基本属性之外，大部分程序还有这么一些 Section：
- 首先是.text Section，也叫作代码段或者指令段（Code Section），用来保存程序的代码和指令；
- 接着是.data Section，也叫作数据段（Data Section），用来保存程序里面设置好的初始化数据信息；
- 然后就是.rel.text Secion，叫作重定位表（Relocation Table）。重定位表里，保留的是当前的文件里面，哪些跳转地址其实是我们不知道的。比如上面的 link_example.o 里面，我们在 main 函数里面调用了 add 和 printf 这两个函数，但是在链接发生之前，我们并不知道该跳转到哪里，这些信息就会存储在重定位表里；
- 最后是.symtab Section，叫作符号表（Symbol Table）。符号表保留了我们所说的当前文件里面定义的函数名称和对应地址的地址簿。
链接器会扫描所有输入的目标文件，然后把所有符号表里的信息收集起来，构成一个全局的符号表。然后再根据重定位表，把所有不确定要跳转地址的代码，根据符号表里面存储的地址，进行一次修正。最后，把所有的目标文件的对应段进行一次合并，变成了最终的可执行代码。这也是为什么，可执行文件里面的函数调用的地址都是正确的。
在链接器把程序变成可执行文件之后，要装载器去执行程序就容易多了。装载器不再需要考虑地址跳转的问题，只需要解析 ELF 文件，把对应的指令和数据，加载到内存里面供 CPU 执行就可以了。
为什么同样一个程序，在 Linux 下可以执行而在 Windows 下不能执行了。其中一个非常重要的原因就是，两个操作系统下可执行文件的格式不一样。
我们今天讲的是 Linux 下的 ELF 文件格式，而 Windows 的可执行文件格式是一种叫作 PE（Portable Executable Format）的文件格式。Linux 下的装载器只能解析 ELF 格式而不能解析 PE 格式。如果我们有一个可以能够解析 PE 格式的装载器，我们就有可能在 Linux 下运行 Windows 程序了。这样的程序真的存在吗？没错，Linux 下著名的开源项目 Wine，就是通过兼容 PE 格式的装载器，使得我们能直接在 Linux 下运行 Windows 程序的。而现在微软的 Windows 里面也提供了 WSL，也就是 Windows Subsystem for Linux，可以解析和加载 ELF 格式的文件。
程序装载：“640K内存”真的不够用么？
程序装载面临的挑战
说起来只是装载到内存里面这一句话的事儿，实际上装载器需要满足两个要求。
- 第一，可执行程序加载后占用的内存空间应该是连续的，执行指令的时候，程序计数器是顺序地一条一条指令执行下去。这也就意味着，这一条条指令需要连续地存储在一起。
- 第二，我们需要同时加载很多个程序，并且不能让程序自己规定在内存中加载的位置。
内存分段
要满足这两个基本的要求，我们很容易想到一个办法。那就是我们可以在内存里面，找到一段连续的内存空间，然后分配给装载的程序，然后把这段连续的内存空间地址，和整个程序指令里指定的内存地址做一个映射。
我们把指令里用到的内存地址叫作虚拟内存地址（Virtual Memory Address），实际在内存硬件里面的空间地址，我们叫物理内存地址（Physical Memory Address）。
程序里有指令和各种内存地址，我们只需要关心虚拟内存地址就行了。对于任何一个程序来说，它看到的都是同样的内存地址。我们维护一个虚拟内存到物理内存的映射表，这样实际程序指令执行的时候，会通过虚拟内存地址，找到对应的物理内存地址，然后执行。因为是连续的内存地址空间，所以我们只需要维护映射关系的起始地址和对应的空间大小就可以了。
这种找出一段连续的物理内存和虚拟内存地址进行映射的方法，我们叫分段（Segmentation）。这里的段，就是指系统分配出来的那个连续的内存空间。
分段的办法很好，解决了程序本身不需要关心具体的物理内存地址的问题，但它也有一些不足之处，第一个就是内存碎片（Memory Fragmentation）的问题。
当然，这个我们也有办法解决。解决的办法叫内存交换（Memory Swapping）。我们可以把 Python 程序占用的那 256MB 内存写到硬盘上，然后再从硬盘上读回来到内存里面。不过读回来的时候，我们不再把它加载到原来的位置，而是紧紧跟在那已经被占用了的 512MB 内存后面。这样，我们就有了连续的 256MB 内存空间，就可以去加载一个新的 200MB 的程序。如果你自己安装过 Linux 操作系统，你应该遇到过分配一个 swap 硬盘分区的问题。这块分出来的磁盘空间，其实就是专门给 Linux 操作系统进行内存交换用的。
硬盘的访问速度要比内存慢很多，而每一次内存交换，我们都需要把一大段连续的内存数据写到硬盘上。所以，如果内存交换的时候，交换的是一个很占内存空间的程序，这样整个机器都会显得卡顿。
内存分页
当需要进行内存交换的时候，让需要交换写入或者从磁盘装载的数据更少一点，这样就可以解决这个问题。这个办法，在现在计算机的内存管理里面，就叫作内存分页（Paging）。
和分段这样分配一整段连续的空间给到程序相比，分页是把整个物理内存空间切成一段段固定尺寸的大小。而对应的程序所需要占用的虚拟内存空间，也会同样切成一段段固定尺寸的大小。这样一个连续并且尺寸固定的内存空间，我们叫页（Page）。从虚拟内存到物理内存的映射，不再是拿整段连续的内存的物理地址，而是按照一个一个页来的。页的尺寸一般远远小于整个程序的大小。在 Linux 下，我们通常只设置成 4KB。你可以通过命令看看你手头的 Linux 系统设置的页的大小。
$ getconf PAGE_SIZE
由于内存空间都是预先划分好的，也就没有了不能使用的碎片，而只有被释放出来的很多 4KB 的页。即使内存空间不够，需要让现有的、正在运行的其他程序，通过内存交换释放出一些内存的页出来，一次性写入磁盘的也只有少数的一个页或者几个页，不会花太多时间，让整个机器被内存交换的过程给卡住。
更进一步地，分页的方式使得我们在加载程序的时候，不再需要一次性都把程序加载到物理内存中。我们完全可以在进行虚拟内存和物理内存的页之间的映射之后，并不真的把页加载到物理内存里，而是只在程序运行中，需要用到对应虚拟内存页里面的指令和数据时，再加载到物理内存里面去。
实际上，我们的操作系统，的确是这么做的。当要读取特定的页，却发现数据并没有加载到物理内存里的时候，就会触发一个来自于 CPU 的缺页错误（Page Fault）。我们的操作系统会捕捉到这个错误，然后将对应的页，从存放在硬盘上的虚拟内存里读取出来，加载到物理内存里。这种方式，使得我们可以运行那些远大于我们实际物理内存的程序。同时，这样一来，任何程序都不需要一次性加载完所有指令和数据，只需要加载当前需要用到就行了。
通过引入虚拟内存、页映射和内存交换，我们的程序本身，就不再需要考虑对应的真实的内存地址、程序加载、内存管理等问题了。任何一个程序，都只需要把内存当成是一块完整而连续的空间来直接使用。
动态链接：程序内部的“共享单车”
如果我们有很多个程序都要通过装载器装载到内存里面，那里面链接好的同样的功能代码，也都需要再装载一遍，再占一遍内存空间。这就好比，假设每个人都有骑自行车的需要，那我们给每个人都生产一辆自行车带在身边，固然大家都有自行车用了，但是马路上肯定会特别拥挤。
链接可以分动、静，共享运行省内存
这个思路就引入一种新的链接方法，叫作动态链接（Dynamic Link）。相应的，我们之前说的合并代码段的方法，就是静态链接（Static Link）。
在动态链接的过程中，我们想要“链接”的，不是存储在硬盘上的目标文件代码，而是加载到内存中的共享库（Shared Libraries）。顾名思义，这里的共享库重在“共享“这两个字。
这个加载到内存中的共享库会被很多个程序的指令调用到。在 Windows 下，这些共享库文件就是.dll 文件，也就是 Dynamic-Link Libary（DLL，动态链接库）。在 Linux 下，这些共享库文件就是.so 文件，也就是 Shared Object（一般我们也称之为动态链接库）
地址无关很重要，相对地址解烦恼
不过，要想要在程序运行的时候共享代码，也有一定的要求，就是这些机器码必须是“地址无关”的。也就是说，我们编译出来的共享库文件的指令代码，是地址无关码（Position-Independent Code）。换句话说就是，这段代码，无论加载在哪个内存地址，都能够正常执行。如果不是这样的代码，就是地址相关的代码。
大部分函数库其实都可以做到地址无关，因为它们都接受特定的输入，进行确定的操作，然后给出返回结果就好了。无论是实现一个向量加法，还是实现一个打印的函数，这些代码逻辑和输入的数据在内存里面的位置并不重要。
而常见的地址相关的代码，比如绝对地址代码（Absolute Code）、利用重定位表的代码等等，都是地址相关的代码。你回想一下我们之前讲过的重定位表。在程序链接的时候，我们就把函数调用后要跳转访问的地址确定下来了，这意味着，如果这个函数加载到一个不同的内存地址，跳转就会失败。
对于所有动态链接共享库的程序来讲，虽然我们的共享库用的都是同一段物理内存地址，但是在不同的应用程序里，它所在的虚拟内存地址是不同的。
动态代码库内部的变量和函数调用都很容易解决，我们只需要使用相对地址（Relative Address）就好了。各种指令中使用到的内存地址，给出的不是一个绝对的地址空间，而是一个相对于当前指令偏移量的内存地址。因为整个共享库是放在一段连续的虚拟内存地址中的，无论装载到哪一段地址，不同指令之间的相对地址都是不变的。
PLT 和 GOT，动态链接的解决方案
要实现动态链接共享库，也并不困难，和前面的静态链接里的符号表和重定向表类似，还是和前面一样，我们还是拿出一小段代码来看一看。
首先，lib.h 定义了动态链接库的一个函数 show_me_the_money。
// lib.h
#ifndef LIB_H
#define LIB_H
void show_me_the_money(int money);
#endif
lib.c 包含了 lib.h 的实际实现。
// lib.c
#include <stdio.h>
void show_me_the_money(int money)
{
printf("Show me USD %d from lib.c \n", money);
}
然后，show_me_poor.c 调用了 lib 里面的函数。
// show_me_poor.c
#include "lib.h"
int main()
{
int money = 5;
show_me_the_money(money);
}
最后，我们把 lib.c 编译成了一个动态链接库，也就是 .so 文件。
$ gcc lib.c -fPIC -shared -o lib.so
$ gcc -o show_me_poor show_me_poor.c ./lib.so
你可以看到，在编译的过程中，我们指定了一个 -fPIC 的参数。这个参数其实就是 Position Independent Code 的意思，也就是我们要把这个编译成一个地址无关代码。
然后，我们再通过 gcc 编译 show_me_poor 动态链接了 lib.so 的可执行文件。在这些操作都完成了之后，我们把 show_me_poor 这个文件通过 objdump 出来看一下。
$ objdump -d -M intel -S show_me_poor
……
0000000000400540 <show_me_the_money@plt-0x10>:
400540: ff 35 12 05 20 00 push QWORD PTR [rip+0x200512] # 600a58 <_GLOBAL_OFFSET_TABLE_+0x8>
400546: ff 25 14 05 20 00 jmp QWORD PTR [rip+0x200514] # 600a60 <_GLOBAL_OFFSET_TABLE_+0x10>
40054c: 0f 1f 40 00 nop DWORD PTR [rax+0x0]
0000000000400550 <show_me_the_money@plt>:
400550: ff 25 12 05 20 00 jmp QWORD PTR [rip+0x200512] # 600a68 <_GLOBAL_OFFSET_TABLE_+0x18>
400556: 68 00 00 00 00 push 0x0
40055b: e9 e0 ff ff ff jmp 400540 <_init+0x28>
……
0000000000400676 <main>:
400676: 55 push rbp
400677: 48 89 e5 mov rbp,rsp
40067a: 48 83 ec 10 sub rsp,0x10
40067e: c7 45 fc 05 00 00 00 mov DWORD PTR [rbp-0x4],0x5
400685: 8b 45 fc mov eax,DWORD PTR [rbp-0x4]
400688: 89 c7 mov edi,eax
40068a: e8 c1 fe ff ff call 400550 <show_me_the_money@plt>
40068f: c9 leave
400690: c3 ret
400691: 66 2e 0f 1f 84 00 00 nop WORD PTR cs:[rax+rax*1+0x0]
400698: 00 00 00
40069b: 0f 1f 44 00 00 nop DWORD PTR [rax+rax*1+0x0]
……
我们还是只关心整个可执行文件中的一小部分内容。你应该可以看到，在 main 函数调用 show_me_the_money 的函数的时候，对应的代码是这样的：
call 400550 <show_me_the_money@plt>
这里后面有一个 @plt 的关键字，代表了我们需要从 PLT，也就是程序链接表（Procedure Link Table）里面找要调用的函数。对应的地址呢，则是 400550 这个地址。
那当我们把目光挪到上面的 400550 这个地址，你又会看到里面进行了一次跳转，这个跳转指定的跳转地址，你可以在后面的注释里面可以看到，GLOBAL_OFFSET_TABLE+0x18。这里的 GLOBAL_OFFSET_TABLE，就是我接下来要说的全局偏移表。
400550: ff 25 12 05 20 00 jmp QWORD PTR [rip+0x200512] # 600a68 <_GLOBAL_OFFSET_TABLE_+0x18>
在动态链接对应的共享库，我们在共享库的 data section 里面，保存了一张全局偏移表（GOT，Global Offset Table）。虽然共享库的代码部分的物理内存是共享的，但是数据部分是各个动态链接它的应用程序里面各加载一份的。所有需要引用当前共享库外部的地址的指令，都会查询 GOT，来找到当前运行程序的虚拟内存里的对应位置。而 GOT 表里的数据，则是在我们加载一个个共享库的时候写进去的。
不同的进程，调用同样的 lib.so，各自 GOT 里面指向最终加载的动态链接库里面的虚拟内存地址是不同的。
我们的 GOT 表位于共享库自己的数据段里。GOT 表在内存里和对应的代码段位置之间的偏移量，始终是确定的。这样，我们的共享库就是地址无关的代码，对应的各个程序只需要在物理内存里面加载同一份代码。而我们又要通过各个可执行程序在加载时，生成的各不相同的 GOT 表，来找到它需要调用到的外部变量和函数的地址。
这是一个典型的、不修改代码，而是通过修改“地址数据”来进行关联的办法。它有点像我们在 C 语言里面用函数指针来调用对应的函数，并不是通过预先已经确定好的函数名称来调用，而是利用当时它在内存里面的动态地址来调用。
PS:为什么要采用 PLT 和 GOT 两级跳转，直接用 GOT 有问题吗？—— PLT是为了做延迟绑定，如果函数没有实际被调用到，就不需要更新GOT里面的数值。因为很多动态装载的函数库都是不会被实际调用到的。
二进制编码：“手持两把锟斤拷，口中疾呼烫烫烫”？
理解二进制的“逢二进一”
这样，一个 4 位的二进制数， 0011 就表示为 +3。而 1011 最左侧的第一位是 1，所以它就表示 -3。这个其实就是整数的原码表示法。原码表示法有一个很直观的缺点就是，0 可以用两个不同的编码来表示，1000 代表 0， 0000 也代表 0。习惯万事一一对应的程序员看到这种情况，必然会被“逼死”。
于是，我们就有了另一种表示方法。我们仍然通过最左侧第一位的 0 和 1，来判断这个数的正负。但是，我们不再把这一位当成单独的符号位，在剩下几位计算出的十进制前加上正负号，而是在计算整个二进制值的时候，在左侧最高位前面加个负号。
当然更重要的一点是，用补码来表示负数，使得我们的整数相加变得很容易，不需要做任何特殊处理，只是把它当成普通的二进制相加，就能得到正确的结果。
字符串的表示，从编码到数字
不仅数值可以用二进制表示，字符乃至更多的信息都能用二进制表示。最典型的例子就是字符串（Character String）。最早计算机只需要使用英文字符，加上数字和一些特殊符号，然后用 8 位的二进制，就能表示我们日常需要的所有字符了，这个就是我们常常说的 ASCII 码（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）。
在 ASCII 码里面，数字 9 不再像整数表示法里一样，用 0000 1001 来表示，而是用 0011 1001 来表示。字符串 15 也不是用 0000 1111 这 8 位来表示，而是变成两个字符 1 和 5 连续放在一起，也就是 0011 0001 和 0011 0101，需要用两个 8 位来表示。
我们可以看到，最大的 32 位整数，就是 2147483647。如果用整数表示法，只需要 32 位就能表示了。但是如果用字符串来表示，一共有 10 个字符，每个字符用 8 位的话，需要整整 80 位。比起整数表示法，要多占很多空间。
这也是为什么，很多时候我们在存储数据的时候，要采用二进制序列化这样的方式，而不是简单地把数据通过 CSV 或者 JSON，这样的文本格式存储来进行序列化。不管是整数也好，浮点数也好，采用二进制序列化会比存储文本省下不少空间。
字符集，表示的可以是字符的一个集合。我们日常说的 Unicode，其实就是一个字符集，包含了 150 种语言的 14 万个不同的字符。
而字符编码则是对于字符集里的这些字符，怎么一一用二进制表示出来的一个字典。我们上面说的 Unicode，就可以用 UTF-8、UTF-16，乃至 UTF-32 来进行编码，存储成二进制
理解电路：从电报机到门电路，我们如何做到“千里传信”？
从信使到电报，我们怎么做到“千里传书”？
马拉松的故事相信你听说过。公元前 490 年，在雅典附近的马拉松海边，发生了波斯和希腊之间的希波战争。雅典和斯巴达领导的希腊联军胜利之后，雅典飞毛腿菲迪皮德斯跑了历史上第一个马拉松，回雅典报喜。这个时候，人们在远距离报信的时候，采用的是派人跑腿，传口信或者送信的方式。
但是，这样靠人传口信或者送信的方式，实在是太慢了。在军事用途中，信息能否更早更准确地传递出去经常是事关成败的大事。所以我们看到中国古代的军队有“击鼓进军”和“鸣金收兵”，通过打鼓和敲钲发出不同的声音，来传递军队的号令。但是能够传递的范围还是非常有限，超出个几公里恐怕就听不见了。于是，人们发明了更多能够往更远距离传信的方式，比如海上的灯塔、长城上的烽火台。因为光速比声速更快，传的距离也可以更远。
但是，这些传递信息的方式都面临一个问题，就是受限于只有“1”和“0”这两种信号，不能传递太复杂的信息，那电报的发明就解决了这个问题。
从信息编码的角度来说，金、鼓、灯塔、烽火台类似电报的二进制编码。电报传输的信号有两种，一种是短促的点信号（dot 信号），一种是长一点的划信号（dash 信号）。我们把“点”当成“1”，把“划”当成“0”。这样一来，我们的电报信号就是另一种特殊的二进制编码了。电影里最常见的电报信号是“SOS”，这个信号表示出来就是 “点点点划划划点点点”。
电报信号有两个明显的优势。
- 第一，信号的传输距离迅速增加。因为电报本质上是通过电信号来进行传播的，所以从输入信号到输出信号基本上没有延时。
- 第二，输入信号的速度加快了很多。
而且，制造一台电报机也非常容易。电报机本质上就是一个“蜂鸣器 + 长长的电线 + 按钮开关”。蜂鸣器装在接收方手里，开关留在发送方手里。双方用长长的电线连在一起。当按钮开关按下的时候，电线的电路接通了，蜂鸣器就会响。短促地按下，就是一个短促的点信号；按的时间稍微长一些，就是一个稍长的划信号。
理解继电器，给跑不动的信号续一秒
有了电报机，只要铺设好电报线路，就可以传输我们需要的讯息了。但是这里面又出现了一个新的挑战，就是随着电线的线路越长，电线的电阻就越大。当电阻很大，而电压不够的时候，即使你按下开关，蜂鸣器也不会响。
那么，我们就不要一次铺太长的线路，而把一小段距离当成一个线路。我们也可以跟驿站建立一个小电报站，在小电报站里面安排一个电报员。他听到上一个小电报站发来的信息，然后原样输入，发到下一个电报站去。这样，我们的信号就可以一段段传输下去，而不会因为距离太长，导致电阻太大，没有办法成功传输信号。为了能够实现这样接力传输信号，在电路里面，工程师们造了一个叫作继电器（Relay）的设备。
我们是不是可以设计一个设备来代替这个电报员？相比使用人工听蜂鸣器的声音，来重复输入信号，利用电磁效应和磁铁，来实现这个事情会更容易。
我们把原先用来输出声音的蜂鸣器，换成一段环形的螺旋线圈，让电路封闭通上电。因为电磁效应，这段螺旋线圈会产生一个带有磁性的电磁场。我们原本需要输入的按钮开关，就可以用一块磁力稍弱的磁铁把它设在“关”的状态。这样，按下上一个电报站的开关，螺旋线圈通电产生了磁场之后，磁力就会把开关“吸”下来，接通到下一个电报站的电路。
事实上，继电器还有一个名字就叫作电驿，这个“驿”就是驿站的驿，可以说非常形象了。这个接力的策略不仅可以用在电报中，在通信类的科技产品中其实都可以用到。
输出端的作用，不仅仅是通过一个蜂鸣器或者灯泡，提供一个供人观察的输出信号，通过“螺旋线圈 + 磁性开关”，使得我们有“开”和“关”这两种状态，这个“开”和“关”表示的“1”和“0”，还可以作为后续线路的输入信号，让我们开始可以通过最简单的电路，来组合形成我们需要的逻辑。通过这些线圈和开关，我们也可以很容易地创建出 “与（AND）”“或（OR）”“非（NOT）”这样的逻辑。我们在输入端的电路上，提供串联的两个开关，只有两个开关都打开，电路才接通，输出的开关也才能接通，这其实就是模拟了计算机里面的“与”操作。
当我们把输出端的“螺旋线圈 + 磁性开关”的组合，从默认关掉，只有通电有了磁场之后打开，换成默认是打开通电的，只有通电之后才关闭，我们就得到了一个计算机中的“非”操作。输出端开和关正好和输入端相反。这个在数字电路中，也叫作反向器（Inverter）
与、或、非的电路都非常简单，要想做稍微复杂一点的工作，我们需要很多电路的组合。不过，这也彰显了现代计算机体系中一个重要的思想，就是通过分层和组合，逐步搭建起更加强大的功能。
总结延伸
我们通过电报机这个设备，看到了如何通过“螺旋线圈 + 开关”，来构造基本的逻辑电路，我们也叫门电路。一方面，我们可以通过继电器或者中继，进行长距离的信号传输。另一方面，我们也可以通过设置不同的线路和开关状态，实现更多不同的信号表示和处理方式，这些线路的连接方式其实就是我们在数字电路中所说的门电路。而这些门电路，也是我们创建 CPU 和内存的基本逻辑单元。我们的各种对于计算机二进制的“0”和“1”的操作，其实就是来自于门电路，叫作组合逻辑电路。
加法器：如何像搭乐高一样搭电路（上）？
这些基本的门电路，是我们计算机硬件端的最基本的“积木”，就好像乐高积木里面最简单的小方块。看似不起眼，但是把它们组合起来，最终可以搭出一个星球大战里面千年隼这样的大玩意儿。我们今天包含十亿级别晶体管的现代 CPU，都是由这样一个一个的门电路组合而成的。
异或门和半加器
我们先回归一个最简单的 8 位的无符号整数的加法。这里的“无符号”，表示我们并不需要使用补码来表示负数。无论高位是“0”还是“1”，这个整数都是一个正数。
我们一样可以用列竖式来计算
你会发现，其实计算一位数的加法很简单。我们先就看最简单的个位数。输入一共是 4 种组合，00、01、10、11。得到的结果，也不复杂。
通过一个异或门计算出个位，通过一个与门计算出是否进位，我们就通过电路算出了一个一位数的加法。于是，我们把两个门电路打包，给它取一个名字，就叫作半加器（Half Adder）。
全加器
你肯定很奇怪，为什么我们给这样的电路组合，取名叫半加器（Half Adder）？莫非还有一个全加器（Full Adder）么？
二位用一个半加器不能计算完成的原因也很简单。因为二位除了一个加数和被加数之外，还需要加上来自个位的进位信号，一共需要三个数进行相加，才能得到结果。但是我们目前用到的，无论是最简单的门电路，还是用两个门电路组合而成的半加器，输入都只能是两个 bit，也就是两个开关。那我们该怎么办呢？
实际上，解决方案也并不复杂。我们用两个半加器和一个或门，就能组合成一个全加器。第一个半加器，我们用和个位的加法一样的方式，得到是否进位 X 和对应的二个数加和后的结果 Y，这样两个输出。然后，我们把这个加和后的结果 Y，和个位数相加后输出的进位信息 U，再连接到一个半加器上，就会再拿到一个是否进位的信号 V 和对应的加和后的结果 W。
这样，通过两个半加器和一个或门，我们就得到了一个，能够接受进位信号、加数和被加数，这样三个数组成的加法。这就是我们需要的全加器。
有了全加器，我们要进行对应的两个 8 bit 数的加法就很容易了。我们只要把 8 个全加器串联起来就好了。
唯一需要注意的是，对于这个全加器，在个位，我们只需要用一个半加器，或者让全加器的进位输入始终是 0。因为个位没有来自更右侧的进位。而最左侧的一位输出的进位信号，表示的并不是再进一位，而是表示我们的加法是否溢出了。
总结延伸
无论软件还是硬件中一个很重要的设计思想，分层。
从简单到复杂，我们一层层搭出了拥有更强能力的功能组件。在上面的一层，我们只需要考虑怎么用下一层的组件搭建出自己的功能，而不需要下沉到更低层的其他组件。就像你之前并没有深入学习过计算机组成原理，一样可以直接通过高级语言撰写代码，实现功能。
在硬件层面，我们通过门电路、半加器、全加器一层层搭出了加法器这样的功能组件。我们把这些用来做算术逻辑计算的组件叫作 ALU，也就是算术逻辑单元。当进一步打造强大的 CPU 时，我们不会再去关注最细颗粒的门电路，只需要把门电路组合而成的 ALU，当成一个能够完成基础计算的黑盒子就可以了。
乘法器：如何像搭乐高一样搭电路（下）？
顺序乘法的实现过程
十进制中的 13 乘以 9，计算的结果应该是 117。我们通过转换成二进制，然后列竖式的办法，来看看整个计算的过程是怎样的。
从列出竖式的过程中，你会发现，二进制的乘法有个很大的优点，就是这个过程你不需要背九九乘法口诀表了。因为单个位置上，乘数只能是 0 或者 1，所以实际的乘法，就退化成了位移和加法。
在 13×9 这个例子里面，被乘数 13 表示成二进制是 1101，乘数 9 在二进制里面是 1001。最右边的个位是 1，所以个位乘以被乘数，就是把被乘数 1101 复制下来。因为二位和四位都是 0，所以乘以被乘数都是 0，那么保留下来的都是 0000。乘数的八位是 1，我们仍然需要把被乘数 1101 复制下来。不过这里和个位位置的单纯复制有一点小小的差别，那就是要把复制好的结果向左侧移三位，然后把四位单独进行乘法加位移的结果，再加起来，我们就得到了最终的计算结果。
对应到我们之前讲的数字电路和 ALU，你可以看到，最后一步的加法，我们可以用上一讲的加法器来实现。乘法因为只有“0”和“1”两种情况，所以可以做成输入输出都是 4 个开关，中间用 1 个开关，同时来控制这 8 个开关的方式，这就实现了二进制下的单位的乘法。
至于位移也不麻烦，我们只要不是直接连线，把正对着的开关之间进行接通，而是斜着错开位置去接就好了。如果要左移一位，就错开一位接线；如果要左移两位，就错开两位接线。
这样，你会发现，我们并不需要引入任何新的、更复杂的电路，仍然用最基础的电路，只要用不同的接线方式，就能够实现一个“列竖式”的乘法
为了节约一点开关，也就是晶体管的数量。实际上，像 13×9 这样两个四位数的乘法，我们不需要把四次单位乘法的结果，用四组独立的开关单独都记录下来，然后再把这四个数加起来。因为这样做，需要很多组开关，如果我们计算一个 32 位的整数乘法，就要 32 组开关，太浪费晶体管了。如果我们顺序地来计算，只需要一组开关就好了。
我们先拿乘数最右侧的个位乘以被乘数，然后把结果写入用来存放计算结果的开关里面，然后，把被乘数左移一位，把乘数右移一位，仍然用乘数去乘以被乘数，然后把结果加到刚才的结果上。反复重复这一步骤，直到不能再左移和右移位置。这样，乘数和被乘数就像两列相向而驶的列车，仅仅需要简单的加法器、一个可以左移一位的电路和一个右移一位的电路，就能完成整个乘法。
你看这里画的乘法器硬件结构示意图。这里的控制测试，其实就是通过一个时钟信号，来控制左移、右移以及重新计算乘法和加法的时机。我们还是以计算 13×9，也就是二进制的 1101×1001 来具体看。
这个计算方式虽然节约电路了，但是也有一个很大的缺点，那就是慢。
你应该很容易就能发现，在这个乘法器的实现过程里，我们其实就是把乘法展开，变成了“加法 + 位移”来实现。我们用的是 4 位数，所以要进行 4 组“位移 + 加法”的操作。而且这 4 组操作还不能同时进行。因为下一组的加法要依赖上一组的加法后的计算结果，下一组的位移也要依赖上一组的位移的结果。这样，整个算法是“顺序”的，每一组加法或者位移的运算都需要一定的时间。
换个我们在算法和数据结构中的术语来说就是，这样的一个顺序乘法器硬件进行计算的时间复杂度是 O(N)。这里的 N，就是乘法的数里面的位数。
并行加速方法
和软件开发里面改算法一样，在涉及 CPU 和电路的时候，我们可以改电路。
32 位数虽然是 32 次加法，但是我们可以让很多加法同时进行。回到这一讲开始，我们把位移和乘法的计算结果加到中间结果里的方法，32 位整数的乘法，其实就变成了 32 个整数相加。
前面顺序乘法器硬件的实现办法，就好像体育比赛里面的单败淘汰赛。只有一个擂台会存下最新的计算结果。每一场新的比赛就来一个新的选手，实现一次加法，实现完了剩下的还是原来那个守擂的，直到其余 31 个选手都上来比过一场。如果一场比赛需要一天，那么一共要比 31 场，也就是 31 天。
加速的办法，就是把比赛变成像世界杯足球赛那样的淘汰赛，32 个球队捉对厮杀，同时开赛。这样一天一下子就淘汰了 16 支队，也就是说，32 个数两两相加后，你可以得到 16 个结果。后面的比赛也是一样同时开赛捉对厮杀。只需要 5 天，也就是 O(log2N) 的时间，就能得到计算的结果。但是这种方式要求我们得有 16 个球场。因为在淘汰赛的第一轮，我们需要 16 场比赛同时进行。对应到我们 CPU 的硬件上，就是需要更多的晶体管开关，来放下中间计算结果。
电路并行
上面我们说的并行加速的办法，看起来还是有点儿笨。我们回头来做一个抽象的思考。之所以我们的计算会慢，核心原因其实是“顺序”计算，也就是说，要等前面的计算结果完成之后，我们才能得到后面的计算结果。
最典型的例子就是我们上一讲讲的加法器。每一个全加器，都要等待上一个全加器，把对应的进入输入结果算出来，才能算下一位的输出。位数越多，越往高位走，等待前面的步骤就越多，这个等待的时间有个专门的名词，叫作门延迟（Gate Delay）。每通过一个门电路，我们就要等待门电路的计算结果，就是一层的门电路延迟，我们一般给它取一个“T”作为符号。一个全加器，其实就已经有了 3T 的延迟（进位需要经过 3 个门电路）。而 4 位整数，最高位的计算需要等待前面三个全加器的进位结果，也就是要等 9T 的延迟。如果是 64 位整数，那就要变成 63×3=189T 的延迟。这可不是个小数字啊！
除了门延迟之外，还有一个问题就是时钟频率。在上面的顺序乘法计算里面，如果我们想要用更少的电路，计算的中间结果需要保存在寄存器里面，然后等待下一个时钟周期的到来，控制测试信号才能进行下一次移位和加法，这个延迟比上面的门延迟更可观。
那么，我们有什么办法可以解决这个问题呢？实际上，在我们进行加法的时候，如果相加的两个数是确定的，那高位是否会进位其实也是确定的。对于我们人来说，我们本身去做计算都是顺序执行的，所以要一步一步计算进位。但是，计算机是连结的各种线路。我们不用让计算机模拟人脑的思考方式，来连结线路。那怎么才能把线路连结得复杂一点，让高位和低位的计算同时出结果呢？怎样才能让高位不需要等待低位的进位结果，而是把低位的所有输入信号都放进来，直接计算出高位的计算结果和进位结果呢？
我们只要把进位部分的电路完全展开就好了。我们的半加器到全加器，再到加法器，都是用最基础的门电路组合而成的。门电路的计算逻辑，可以像我们做数学里面的多项式乘法一样完全展开。在展开之后呢，我们可以把原来需要较少的，但是有较多层前后计算依赖关系的门电路，展开成需要较多的，但是依赖关系更少的门电路。
我在这里画了一个示意图，展示了一下我们加法器。如果我们完全展开电路，高位的进位和计算结果，可以和低位的计算结果同时获得。这个的核心原因是电路是天然并行的，一个输入信号，可以同时传播到所有接通的线路当中。
如果一个 4 位整数最高位是否进位，展开门电路图，你会发现，我们只需要 3T 的延迟就可以拿到是否进位的计算结果。而对于 64 位的整数，也不会增加门延迟，只是从上往下复制这个电路，接入更多的信号而已。看到没？我们通过把电路变复杂，就解决了延迟的问题。
这个优化，本质上是利用了电路天然的并行性。电路只要接通，输入的信号自动传播到了所有接通的线路里面，这其实也是硬件和软件最大的不同。
总结延伸
我们可以把很多在生活中不得不顺序执行的事情，通过简单地连结一下线路，就变成并行执行了。这是因为，硬件电路有一个很大的特点，那就是信号都是实时传输的。
我们也看到了，通过精巧地设计电路，用较少的门电路和寄存器，就能够计算完成乘法这样相对复杂的运算。是用更少更简单的电路，但是需要更长的门延迟和时钟周期；还是用更复杂的电路，但是更短的门延迟和时钟周期来计算一个复杂的指令，这之间的权衡，其实就是计算机体系结构中 RISC 和 CISC 的经典历史路线之争。
浮点数和定点数（上）：怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息？
定点数的表示
有一个很直观的想法，就是我们用 4 个比特来表示 0～9 的整数，那么 32 个比特就可以表示 8 个这样的整数。然后我们把最右边的 2 个 0～9 的整数，当成小数部分；把左边 6 个 0～9 的整数，当成整数部分。这样，我们就可以用 32 个比特，来表示从 0 到 999999.99 这样 1 亿个实数了。
这种用二进制来表示十进制的编码方式，叫作BCD 编码（Binary-Coded Decimal）。其实它的运用非常广泛，最常用的是在超市、银行这样需要用小数记录金额的情况里。在超市里面，我们的小数最多也就到分。这样的表示方式，比较直观清楚，也满足了小数部分的计算。
- 第一，这样的表示方式有点“浪费”。本来 32 个比特我们可以表示 40 亿个不同的数，但是在 BCD 编码下，只能表示 1 亿个数
- 第二，这样的表示方式没办法同时表示很大的数字和很小的数字。我们在写程序的时候，实数的用途可能是多种多样的。有时候我们想要表示商品的金额，关心的是 9.99 这样小的数字；有时候，我们又要进行物理学的运算，需要表示光速这样很大的数字。
浮点数的表示
我们会用科学计数法来表示这个数字。宇宙内的原子的数量，大概在 10 的 82 次方左右，我们就用 1.0×10^82 这样的形式来表示这个数值，不需要写下 82 个 0。
在计算机里，我们也可以用一样的办法，用科学计数法来表示实数。浮点数的科学计数法的表示，有一个 IEEE 的标准，它定义了两个基本的格式。一个是用 32 比特表示单精度的浮点数，也就是我们常常说的 float 或者 float32 类型。另外一个是用 64 比特表示双精度的浮点数，也就是我们平时说的 double 或者 float64 类型。
单精度的 32 个比特可以分成三部分。
- 第一部分是一个符号位，用来表示是正数还是负数。我们一般用 s 来表示。在浮点数里，我们不像正数分符号数还是无符号数，所有的浮点数都是有符号的。
- 接下来是一个 8 个比特组成的指数位。我们一般用 e 来表示。8 个比特能够表示的整数空间，就是 0～255。我们在这里用 1～254 映射到 -126～127 这 254 个有正有负的数上。因为我们的浮点数，不仅仅想要表示很大的数，还希望能够表示很小的数，所以指数位也会有负数。
- 最后，是一个 23 个比特组成的有效数位。我们用 f 来表示。综合科学计数法，我们的浮点数就可以表示成下面这样：
你会发现，这里的浮点数，没有办法表示 0。的确，要表示 0 和一些特殊的数，我们就要用上在 e 里面留下的 0 和 255 这两个表示，这两个表示其实是两个标记位。在 e 为 0 且 f 为 0 的时候，我们就把这个浮点数认为是 0。至于其它的 e 是 0 或者 255 的特殊情况，你可以看下面这个表格，分别可以表示出无穷大、无穷小、NAN 以及一个特殊的不规范数。
我们可以以 0.5 为例子。0.5 的符号为 s 应该是 0，f 应该是 0，而 e 应该是 -1
需要注意，e 表示从 -126 到 127 个，-1 是其中的第 126 个数，这里的 e 如果用整数表示，就是 26+25+24+23+22+21=126
在这样的浮点数表示下，不考虑符号的话，浮点数能够表示的最小的数和最大的数，差不多是 1.17×10^−38 和 3.40×10^38。比前面的 BCD 编码能够表示的范围大多了。
浮点数和定点数（下）：深入理解浮点数到底有什么用？
浮点数的二进制转化
我们输入一个任意的十进制浮点数，背后都会对应一个二进制表示。比方说，我们输入了一个十进制浮点数 9.1。那么按照之前的讲解，在二进制里面，我们应该把它变成一个“符号位 s+ 指数位 e+ 有效位数 f”的组合。第一步，我们要做的，就是把这个数变成二进制。
首先，我们把这个数的整数部分，变成一个二进制。这个我们前面讲二进制的时候已经讲过了。这里的 9，换算之后就是 1001。
接着，我们把对应的小数部分也换算成二进制。
和整数的二进制表示采用“除以 2，然后看余数”的方式相比，小数部分转换成二进制是用一个相似的反方向操作，就是乘以 2，然后看看是否超过 1。如果超过 1，我们就记下 1，并把结果减去 1，进一步循环操作。在这里，我们就会看到，0.1 其实变成了一个无限循环的二进制小数，0.000110011。这里的“0011”会无限循环下去。
然后，我们把整数部分和小数部分拼接在一起，9.1 这个十进制数就变成了 1001.000110011…这样一个二进制表示。
上一讲我们讲过，浮点数其实是用二进制的科学计数法来表示的，所以我们可以把小数点左移三位，这个数就变成了：1.001000110011…×2^3
那这个二进制的科学计数法表示，我们就可以对应到了浮点数的格式里了。这里的符号位 s = 0，对应的有效位 f=001000110011…。因为 f 最长只有 23 位，那这里“0011”无限循环，最多到 23 位就截止了。于是，f=00100011001100110011 001。最后的一个“0011”循环中的最后一个“1”会被截断掉。对应的指数为 e，代表的应该是 3。因为指数位有正又有负，所以指数位在 127 之前代表负数，之后代表正数，那 3 其实对应的是加上 127 的偏移量 130，转化成二进制，就是 130，对应的就是指数位的二进制，表示出来就是 10000010。
然后，我们把“s+e+f”拼在一起，就可以得到浮点数 9.1 的二进制表示了。最终得到的二进制表示就变成了：
010000010 0010 0011001100110011 001
如果我们再把这个浮点数表示换算成十进制， 实际准确的值是 9.09999942779541015625。相信你现在应该不会感觉奇怪了。
浮点数的加法和精度损失
搞清楚了怎么把一个十进制的数值，转化成 IEEE-754 标准下的浮点数表示，我们现在来看一看浮点数的加法是怎么进行的。其实原理也很简单，你记住六个字就行了，那就是先对齐、再计算。
比如 0.5，表示成浮点数，对应的指数位是 -1，有效位是 00…（后面全是 0，记住 f 前默认有一个 1）。0.125 表示成浮点数，对应的指数位是 -3，有效位也还是 00…（后面全是 0，记住 f 前默认有一个 1）。
那我们在计算 0.5+0.125 的浮点数运算的时候，首先要把两个的指数位对齐，也就是把指数位都统一成两个其中较大的 -1。对应的有效位 1.00…也要对应右移两位，因为 f 前面有一个默认的 1，所以就会变成 0.01。然后我们计算两者相加的有效位 1.f，就变成了有效位 1.01，而指数位是 -1，这样就得到了我们想要的加法后的结果。
回到浮点数的加法过程，你会发现，其中指数位较小的数，需要在有效位进行右移，在右移的过程中，最右侧的有效位就被丢弃掉了。这会导致对应的指数位较小的数，在加法发生之前，就丢失精度。两个相加数的指数位差的越大，位移的位数越大，可能丢失的精度也就越大。当然，也有可能你的运气非常好，右移丢失的有效位都是 0。这种情况下，对应的加法虽然丢失了需要加的数字的精度，但是因为对应的值都是 0，实际的加法的数值结果不会有精度损失。
32 位浮点数的有效位长度一共只有 23 位，如果两个数的指数位差出 23 位，较小的数右移 24 位之后，所有的有效位就都丢失了。这也就意味着，虽然浮点数可以表示上到 3.40×1038，下到 1.17×10−38 这样的数值范围。但是在实际计算的时候，只要两个数，差出 224，也就是差不多 1600 万倍，那这两个数相加之后，结果完全不会变化。
你可以试一下，我下面用一个简单的 Java 程序，让一个值为 2000 万的 32 位浮点数和 1 相加，你会发现，+1 这个过程因为精度损失，被“完全抛弃”了。
public class FloatPrecision {
public static void main(String[] args) {
float a = 20000000.0f;
float b = 1.0f;
float c = a + b;
System.out.println("c is " + c);
float d = c - a;
System.out.println("d is " + d);
}
}
c is 2.0E7
d is 0.0
Kahan Summation 算法
一个常见的应用场景是，在一些“积少成多”的计算过程中，比如在机器学习中，我们经常要计算海量样本计算出来的梯度或者 loss，于是会出现几亿个浮点数的相加。每个浮点数可能都差不多大，但是随着累积值的越来越大，就会出现“大数吃小数”的情况。
public class FloatPrecision {
public static void main(String[] args) {
float sum = 0.0f;
for (int i = 0; i < 20000000; i++) {
float x = 1.0f;
sum += x;
}
System.out.println("sum is " + sum);
}
}
sum is 1.6777216E7
面对这个问题，聪明的计算机科学家们也想出了具体的解决办法。他们发明了一种叫作Kahan Summation的算法来解决这个问题。算法的对应代码我也放在文稿中了。从中你可以看到，同样是 2000 万个 1.0f 相加，用这种算法我们得到了准确的 2000 万的结果。
public static void main(String[] args) {
float res = 0.0f;
float remain = 0.0f;
for (int i = 0; i < 20000000; i++) {
float cur = 1.0f;
float needToAdd = cur + remain;
float nextRes = res + needToAdd;
remain = needToAdd - (nextRes - res);
res = nextRes;
}
System.out.println(res);
}
其实这个算法的原理其实并不复杂，就是在每次的计算过程中，都用一次减法，把当前加法计算中损失的精度记录下来，然后在后面的循环中，把这个精度损失放在要加的小数上，再做一次运算。
这个方法在实际的数值计算中也是常用的，也是大量数据累加中，解决浮点数精度带来的“大数吃小数”问题的必备方案。
总结延伸
所以，一般情况下，在实践应用中，对于需要精确数值的，比如银行存款、电商交易，我们都会使用定点数或者整数类型。
而浮点数呢，则更适合我们不需要有一个非常精确的计算结果的情况。因为在真实的物理世界里，很多数值本来就不是精确的，我们只需要有限范围内的精度就好了。
对于浮点数加法中可能存在的精度损失，特别是大量加法运算中累积产生的巨大精度损失，我们可以用 Kahan Summation 这样的软件层面的算法来解决。
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