LCM与GCD算法

LCM与GCD算法

LCM（最小公倍数）和GCD最大公因数在做ACM题时经常会用到，求两个整数的LCM和GCD有两种方法。

1. 辗转相除法（欧几里得算法）

定理：对于任意的两个整数a、b (a\(\geq\)b)， 有(a,b) = (b, a%b) . （(a, b)表示a，b的最大公因数）
证明如下：
   a = qb + r，其中q为整数，0\(\leq\)a\(<\)b .
   设d = (a, b)，则b = md，a = nd .
   则a = qmd + r = nd，进一步推出r = (n-qm)d .
   故d也是r的因数，即d\(\leq\)(b, r) = (b, a%b) .
   同理，设p = (a, a%b) = (a, r)，则r = sp，b = tp，d\(\leq\)p.
   则a = qtp + sp = (qt+s)p .
   故p也是a的因数， 即p\(\leq\)(a, b) = d.
   综上，d = p，原命题得证 .

所以要求两个数的最大公因数，只需根据递推式不断进行递推，并更新a = b, b = a%b, 直到a%b = 0为止，则此时的a即为 (a, b) . 求得 (a, b)以后，则[a, b] （最小公倍数）便可由 a*b/(a, b)求得 .

2. 素因子分解

定理：任意一个正整数都能分解成若干个素数的幂的乘积的形式 .
证明略 .

由此可知，a = \(p^{a_1}_1p^{a_2}_2...p^{a_n}_n\)，b = \(p^{b_1}_1p^{b_2}_2...p^{b_n}_n\) . 其中\(a_i,b_i\geq0\) .
故 (a, b) = \(p^{min(a_1,b_1)}_1p^{min(a_2,b_2)}_2...p^{min(a_n,b_n)}_n\) .
  [a, b] = \(p^{max(a_1,b_1)}_1p^{max(a_2,b_2)}_2...p^{max(a_n,b_n)}_n\) .