笔记3-28

容斥原理：

错排公式 $f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\frac{n!}{i!}$=(-1)^n+n*f_{n-1}$

二项式反演 $b_k=\sum_{i=0}^{k}C_k^ia_i \ \ <--> \ \ a_k=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}C_k^ib_i$ $b_k=\sum_{i=k}^{n}C_i^ka_i \ \ <--> \ \ a_k=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}C_i^kb_i$

$*$$n \leq 1e9$个咸鱼，$m \leq 15$个操作，每次把某个数倍数的咸鱼翻身，问最后另一面朝上的有多少。题解

$*$bzoj4671

$-->\sum_{i=1}^nC_n^i(S_n^i)coef_i$，暴力求系数

广义容斥原理 m个元素n个性质，$A_k$--满足$k$性质的集合，$P_k$--满足$k$个性质的元素的元次，$P_k=\sum_{I\in C_n^k}|\bigcap _{i\in I}A_i|$，$Q_k$恰好$k$个性质的元素的个数，$Q_k=\sum_{I \in C_n^k}|(\bigcap_{i \in I}A_i) \bigcap (\bigcap_{j \in \bar{I}}\bar{A_j}|$，有$Q_k=\sum_{k \leq i \leq n}(-1)^{i-k}C_i^kP_k$

$*$bzoj3622

$*$bzoj4559

图计数：

树计数 有根树DP 无根树prufer序

无向连通图计数

欧拉回路图计数 连通且度数为偶数 度数为偶数的n图=任意n-1图 减去不连通的

连通生成子图总数奇偶性 是二分图为奇数否则为偶数 二分图：$2^x-1$种选边方案，选完边对应一个点数更少的二分图，归纳法

DAG计数 $f_n=\sum_{k=1}^nC_n^k2^{k*(n-k)}f_{n-k}$，这样是至少有$k$个度数为0的点，加容斥$f_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}C_n^k2^{k*(n-k)}f_{n-k}$，可用fft优化？

强连通图计数 $g_n$表示$n$个点任意个强连通分量方案数，$f_n=h_n-\sum_{k=1}^{n-1}C_n^k2^{k*(n-k)}g_kh_{n-k}$，但这样缩DAG至少有$k$个度数0的点，容斥，$g_n=f_n-\sum_{k=1}^{n-1}C_{n-1}^{k-1}f_kg_{n-k}$

$*$bzoj3812