字符串编辑距离(Levenshtein距离)算法

基本介绍

  Levenshtein距离是一种计算两个字符串间的差异程度的字符串度量(string metric)。我们可以认为Levenshtein距离就是从一个字符串修改到另一个字符串时,其中编辑单个字符(比如修改、插入、删除)所需要的最少次数。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein于1965年提出了这一概念。

 

简单例子

  从字符串“kitten”修改为字符串“sitting”只需3次单字符编辑操作,如下:

    • sitten ( k -> s )
    • sittin ( e -> i )
    • sitting ( _ -> g )

  因此“kitten”和“sitting”的Levenshtein距离为3。

 

实现思想

  如何编程实现这一算法呢?许多人试图用矩阵来解释,但实际上矩阵是最终可视化的工具,配合理解“为什么”比较方便,但从矩阵却比较难想到“怎么做”。

  我们试图找到“从字符串$A$修改到字符串$B$”这一问题的子解结构。当然反过来说“从字符串$B$修改到字符串$A$”和它是同一个问题,因为从$A$中删掉一个字符来匹配$B$,就相当于在$B$中插入一个字符来匹配$A$,这两个操作是可以互相转化的。

  假设字符序列$A[1\ldots i]$、$B[1\ldots j]$分别是字符串$A$、$B$的前$i$、$j$个字符构成的子串,我们得到一个子问题是“从字符串$A[1\ldots i]$修改到字符串$B[1\ldots j]$”:$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&A:&&A[1]&&A[2]&&\cdots&&A[i-2]&&A[i-1]&&A[i]\\\\&B:&&B[1]&&B[2]&&\cdots&&B[j-2]&&B[j-1]&&B[j]\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

  ① 插入操作

    • 当将$A[1\ldots i]$修改成$B[1\ldots j-1]$需要操作数为$op_1$,那么我插入一个字符$A[i']=B[j]$到$A[i]$和$A[i+1]$之间,用以匹配$B[j]$,于是$A[1\ldots i]$修改到$B[1\ldots j]$所需操作数为$op_1+1$。$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\color{Red}{A[i-1]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i]}}&&\mathbf{\color{Blue}{A[i']}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{B[j]}}&&\phi&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

  ② 删除操作

    • 当将$A[1\ldots i-1]$修改成$B[1\ldots j]$需要操作数为$op_2$,那么我删掉字符$A[i]$也可以$op_2+1$的操作数使两个子字符串匹配:$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{\phi}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\color{Red}{B[j-1]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j]}}&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

  ③ 修改操作

    • 如果$A[1\ldots i-1]$修改成$B[1\ldots j-1]$所需操作数为$op_3$的话,我将字符$A[i]$替换成$A[i']=B[j]$,就可以$op_3+1$的操作数完成:$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{A[i']}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{B[j]}}&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$
    • 但如果此时字符$A[i]==B[j]$的话,则不需要进行修改操作,操作数仍为$op_3$。

  综上所述,我们将字符串$A[1\ldots i]$修改成字符串$B[1\ldots j]$所需操作为$min\{op_1+1,\ op_2+1,\ op_3+1_{(a_i\neq b_i)}\}$,其中$1_{(a_i\neq b_i)}$代表当$a_i\neq b_i$时取值$1$,否则取值为$0$。

 

数学定义

  数学上,我们定义两个字符串$A$和$B$间的Levenshtein距离为$lev_{A,\ B}(a,\ b)$,其中$a$、$b$分别为字符串$A$、$B$的长度,而$$lev_{A,\ B}(i,\ j)=\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}&i&&,\ j=0\\&j&&,\ i=0\\&min\left\{\begin{matrix}lev_{a,\ b}(i,\ j-1)+1\\lev_{a,\ b}(i-1,\ j)+1\\lev_{a,\ b}(i-1,\ j-1)+1_{(a_i\neq b_i)}\end{matrix}\right.&&,\ otherwise\end{aligned}\end{matrix}\right.$$

  更多请参考 Wikipedia - Levenshtein_distance

 

 

C++代码

  有了状态转移方程,我们就可以愉快地DP了,时间复杂度$O(MN)$,空间复杂度$O(MN)$。

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <algorithm>
 4 using std::min;
 5 int lena, lenb;
 6 char a[1010], b[1010];
 7 void read() {
 8     scanf("%s%s", a, b);
 9     lena = strlen(a);
10     lenb = strlen(b);
11 }
12 
13 int dp[1010][1010];
14 void work() {
15     for(int i=1; i<=lena; i++) dp[i][0] = i;
16     for(int j=1; j<=lenb; j++) dp[0][j] = j;
17     for(int i=1; i<=lena; i++)
18         for(int j=1; j<=lenb; j++)
19             if(a[i-1]==b[j-1])
20                 dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
21             else
22                 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]))+1;
23     printf("%d\n", dp[lena][lenb]);
24 }
25 
26 int main() {
27     read();
28     work();
29     return 0;
30 }

 

几个小优化

  1. 如果满足$A[i]==B[j]$(下标从$1$开始),实际上是可以直接取$lev(i,\ j)=lev(i-1,\ j-1)$的。因为此时字符相同是不需要任何编辑操作的。这一优化也可以从上文转移方程中构造不等关系得出。

  2. 如果使用滚动数组,则空间复杂度可以降到$O(2*max\{M,\ N\})$。但也可以通过保存$lev(i-1,\ j-1)$来把空间复杂度降到$O(max\{M,\ N\})$,如下:

 1 int dp[1010];
 2 void work() {
 3     for(int j=1; j<=lenb; j++) dp[j] = j;
 4     int t1, t2;
 5     for(int i=1; i<=lena; i++) {
 6         t1 = dp[0]++;
 7         for(int j=1; j<=lenb; j++) {
 8             t2 = dp[j];
 9             if(a[i-1]==b[j-1])
10                 dp[j] = t1;
11             else
12                 dp[j] = min(t1, min(dp[j-1], dp[j]))+1;
13             t1 = t2;
14         }
15     }
16     printf("%d\n", dp[lenb]);
17 }

 

以上即为Levenshtein距离算法的基本介绍,如果您喜欢,请点个推荐吧~如果您有宝贵意见,欢迎在下方评论区提出哦~

 

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posted @ 2016-04-17 16:15  BlackStorm  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏