数学 - 数学分析 - VII.1 连续线性映射

VII.1 连续线性映射

如同我们之前提到的，多变量微分依赖于对一个函数的局部近似。从 Proposition I.12.8 知，一个线性空间之间的仿射函数不平凡的部分就是它的线性映射，因此接下来我们将重点关注赋范线性空间之间的线性映射，在导出它们的一些重要性质之后，我们将用它们来研究指数函数和常系数线性微分方程理论。

下面，我们设 \(E=(E,\|\cdot\|)\) 和 \(F = (F,\|\cdot\|)\) 是域 \(\mathbb{K}\) 上的赋范线性空间。

有界线性算子的完备性

由 VI.2 可知，由 \(E\) 到 \(F\) 的所有有界线性映射组成的空间 \(\mathcal{L}(E,F)\) 是赋范线性空间，现在我们研究这个空间的完备性。

1.1 Theorem

若 \(F\) 是一个 \(\text{Banach}\) 空间，则 \(\mathcal{L}(E,F)\) 也是 \(\text{Banach}\) 空间。

证明：

证毕。

1.2 Corollary

(1) \(\mathcal{L}(E,\mathbb{K})\) 是 \(\text{Banach}\) 空间。

(2) 若 \(E\) 是 \(\text{Banach}\) 空间，则 \(\mathcal{L}(E)\) 是？？ \(\text{Banach}\) 代数。

有限维 Banach 空间

赋范线性空间 \(E\) 和 \(F\) 被称为（拓扑）同构，若存在从 \(E\) 到 \(F\) 的连续线性同构映射 \(A\) 使得 \(A^{-1}\) 也是连续的，即 \(A^{-1} \in \mathcal{L}(F,E)\)，然后 \(A\) 是从 \(E\) 到 \(F\) 的拓扑同构映射。我们记从 \(E\) 到 \(F\) 的所有拓扑同构构成的集合为

\[\mathcal{L} \text{is}(E,F) \]

如果 \(\mathcal{L} \text{is}(E,F)\) 非空，则可写 \(E \cong F\)，我们记

\[\mathcal{L} \text{aut}(E) := \mathcal{L} \text{is} (E,E) \]

因此 \(\mathcal{L}\text{ant}(E)\) 是 \(E\) 的所有拓扑自同构构成的集合。

1.3 Remarks

(a) 空间 \(\mathcal{L} (\mathbb{K}, F)\) 和 \(F\) 是等距同构的，更具体地说，有等距同构映射

\[\mathcal{L} (\mathbb{K}, F) \to F, \quad A \to A1 \tag{1.2} \]

我们在这个意义下将 \(\mathcal{L} (\mathbb{K}, F)\) 和 \(F\) 视为相同，记 \(\mathcal{L}(\mathbb{K}, F) = F\)。

证明：这能导出 \(\|A\|_{\mathcal{L}(\mathbb{K}, F)} = \|A1\|_F\)，因此 \((1.2)\) 是等距的。

证毕。

(b) \(\mathcal{L}\text{ant}(E)\) 是一个群，是由 \(E\) 上的所有拓扑自同构构成的群，其上定义的运算为两个线性映射的复合。

(c) 若 \(E\) 和 \(F\) 是同构的，则 \(E\) 是一个 \(\text{Banach}\) 空间当且仅当 \(F\) 是一个 \(\text{Banach}\) 空间。

(d) 设 \(E\) 和 \(F\) 都是 \(\text{Banach}\) 空间，且 \(A \in \mathcal{L}(E,F)\) 是双射，则 \(A\) 是一个拓扑同构映射，即 \(A \in \mathcal{L}\text{is}(E,F)\)。

1.4 Theorem

设 \(\{b_1, \cdots, b_n\}\) 是赋范线性空间 \(E\) 的基，则

\[T:E \to \mathbb{K}^n, \quad e = \sum_{j=1}^n x_j b_j \to (x_1, \cdots, x_n) \]

是一个拓扑同构映射，即是说，每一个有限维的赋范线性空间拓扑同构于一个欧几里得空间。

证明：

证毕。

1.5 Corollary

若 \(E\) 有限维赋范线性空间，则以下表述等价：

(1) \(E\) 上的所有范数等价。

(2) \(E\) 完备，因此是一个 \(\text{Banach}\) 空间。

证明：

证毕。

1.6 Theorem

令 \(E\) 是一个有限维赋范线性空间，则 \(\text{Hom}(E,F) = \mathcal{L}(E,F)\)，换句话说，在有限维赋范线性空间上的每一个线性算子都是连续的。

证明：

证毕。

1.7 Remarks

(a) Corollary 1.5 和 Theorem 1.6 不能对无限维赋范线性空间成立。

(b) 每一个有限维内积空间都是 \(\text{Hilbert}\) 空间。

(c) 设 \(E\) 是一个有限维 \(\text{Banach}\) 空间，则在 \(E\) 上存在一个等价 \(\text{Hilbert}\) 范数，即是说，由内积诱导的范数。用其他话说，每一个有限维 \(\text{Banach}\) 空间能对范数重定义，使之称为 \(Hilbert\) 空间。

矩阵表示

令 \(m,n \in N^{\times}\)，我们将 \(\mathbb{K}^{m \times n}\) 中的元素记为矩阵

\[\begin{align*} [a^j_k] = \begin{bmatrix} a_1^1 & \cdots & a_n^1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^m & \cdots & a_n^m \end{bmatrix}, \quad a_k^j \in \mathbb{K} \end{align*} \]

此处，上标表示行数，下标表示列数。然后，我们设

\[ \]