数学 - 数学分析 - III.2 拓扑基础

拓扑基础

为了对连续函数有更深的理解，我们在这节介绍关于拓扑空间的一些基本概念。在之后的介绍中，都令 \(X:= (X,d)\) 是一个度量空间。

开集

定义 开集

令 \(X:= (X,d)\) 是一个度量空间，\(X\) 的子集 \(A\) 中的元素 \(a\) 被称为 \(A\) 的内点，若存在 \(a\) 的邻域 \(U\) 使得 \(U \subseteq A\)。集合 \(A\) 称为开集，若 \(A\) 中的每个点都是内点。

2.1 Remarks

(a) 显然，\(a\) 是集合 \(A\) 的内点当且仅当存在 \(\varepsilon > 0\) 使得 \(\mathbb{B}(a,\varepsilon) \subseteq A\)。

(b) \(A\) 是开集当且仅当 \(A\) 是是它每个点的邻域。

2.2 Examples

开球 \(\mathbb{B}(a,r)\) 是开集。

2.3 Remarks

(a) 内点与开集的概念依赖于度量空间 \(X\)，有时为了明确，我们会说 \(a\) 是集合 \(A\) 关于度量空间 \(X\) 的内点，或是 \(A\) 在 \(X\) 中是开集。

比如，\(\mathbb{R}\) 中的开球，也就是开区间 \(J\)，在 \(\mathbb{R}\) 中是开集，但把问题放在度量空间 \(\mathbb{R}^2\) 上考虑，会发现 \(J\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上不是开集。

(b) 令 \(X=(X,\|\cdot\|)\) 是一个赋范线性空间，且 \(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|\) 是 \(X\) 上的等价范数，则由 Remark II.3.13(d) 可知

\[\text{关于} (X,\|\cdot\|), \quad A \, \text{是开集} \iff \text{关于} (X,\|\cdot\|_1), \quad A \, \text{是开集} \]

因此若 \(A\) 关于一个特定的范数是开集，则它对于所有的等价范数也是开集。

(c) 由 Examples 2.2 可知，度量空间的每个点都有一个开邻域。

2.4 Proposition

令 \(\mathcal{T} := \{O \subseteq X \, ; \, O \, \text{是开集} \}\) 为开集构成的集合。

(1) \(\empty,X \in \mathcal{T}\)

(2) 如果 \(\forall \alpha \in I, O_{\alpha} \in \mathcal{T}\)，则 \(\bigcup_{\alpha \in I} O_{\alpha} \in \mathcal{T}\)，即是说，对任意开集的并仍然是开集。

(3) 如果 \(O_0, \cdots, O_n \in \mathcal{T}\)，则 \(\bigcap_{k=0}^n O_k \in \mathcal{T}\)，即是说，有限个开集的交仍然是开集。

证明：

证毕。

Proposition 2.4 的性质 (1)-(3) 包含了集合的交 \(\cap\) 与并 \(\cup\)，但没有包含度量，因此这是对度量空间这一概念的一般化：令 \(M\) 是一个集合，且 \(\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(M)\) 是 \(M\) 的子集构成的集合 \(\mathcal{P}(M)\) 的子集，\(\mathcal{T}\) 满足 (1)-(3) ，则将 \(\mathcal{T}\) 称为 \(M\) 上的拓扑，将 \(\mathcal{T}\) 中的元素称为关于 \(\mathcal{T}\) 的开集。最后，将元素对 \((M,\mathcal{T})\) 称为拓扑空间。

2.5 Remarks

(a) 令 \(X:= (X,d)\) 是一个度量空间，\(\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P} (X)\) 是具有 Proposition 2.4 的集合族，将 \(\mathcal{T}\) 称为 \(X\) 上由度量 \(d\) 诱导的拓扑。令 \(X\) 是一个赋范线性空间，其上的度量为范数诱导的度量，则 \(\mathcal{T}\) 也是一个拓扑，被称为范数拓扑。

(b) 令 \((X,\|\cdot\|)\) 是一个赋范线性空间，则 \(\|\cdot\|_1\) 是一个 \(X\) 上与 \(\|\cdot\|\) 等价的范数，令 \(\mathcal{T}_{\|\cdot\|}\) 和 \(\mathcal{T}_{\|\cdot\|_1}\) 分别是由 \((X,\|\cdot\|)\) 和 \((X, \|\cdot\|_1)\) 诱导的范数拓扑，由 Remarks 2.3(b)，\(\mathcal{T}_{\|\cdot\|}\) 与 \(\mathcal{T}_{\|\cdot\|_1}\) 相等，即是说，在 \(X\) 上的等价范数可以诱导出在 \(X\) 上的等价拓扑。

闭集

度量空间 \(X\) 上的子集 \(A\) 被称为是 \(X\) 上的闭集当且仅当 \(A^c\) 在 \(X\) 上是开集。

2.6 Proposition

(1) \(\empty\) 和 \(X\) 是闭集。

(2) 任意闭集的交仍然是闭集。

(3) 有限闭集的并仍然是闭集。

2.7 Remarks

(a) 无限个开集的交不一定是开集。

(b) 无限个闭集的并不一定是闭集。

令 \(A \subseteq X\) 且 \(x \in X\)，我们将 \(x\) 称为 \(A\) 的聚点当且仅当 \(x\) 在 \(X\) 的每个邻域与 \(A\) 都有一个非空交。点 \(x \in X\) 被称为 \(A\) 的收敛点当且仅当 \(x\) 在 \(X\) 的每个邻域都包含了 \(A\) 集合中除了 \(x\) 的一个点。我们设

\[\overline{A} := \{x \in X \, ; \, x \, \text{是} A \,\text{的聚点}\} \]

显然，\(A\) 中任意一个元素和 \(A\) 的任一个收敛点都是 \(A\) 的一个聚点。事实上，\(\overline{A}\) 是集合 \(A\) 与集合 \(A\) 所有收敛点构成的集合的并。

2.8 Proposition

令 \(A\) 是度量空间 \(X\) 的一个子集。

(1) \(A \subseteq \overline{A}\)

(2) \(A = \overline{A} \iff A \,\text{是闭集}\)

证明：

证毕。

2.9 Proposition

\(X\) 的元素 \(x\) 是 \(A\) 的一个收敛点当且仅当存在 \(A \setminus \{x\}\) 中的序列 \((x_k)\) 收敛到 \(x\)。

证明；

相反地，令 \((x_k)\) 是 \(A \setminus \{x\}\) 中的序列，且有 \(x_k \to x\)。则对于 \(x\) 的每个邻域 \(U\)，存在 \(k \in \mathbb{N}\) 使得 \(x_k \in U\)，这意味着 \(x_k \in U\)

证毕。

2.10 Corollary

\(X\) 的元素 \(x\) 是 \(A\) 的一个聚点当且仅当存在 \(A\) 中的序列 \((x_k)\) 收敛到 \(x\)。

证明：

证毕。

我们现在用收敛序列刻画闭集。

2.11 Proposition

对 \(A \subseteq X\)，以下描述等价：

(1) \(A\) 是闭集。

(2) \(A\) 包含了它所有的收敛点。

(3) \(A\) 中每一个在 \(X\) 上收敛的序列，收敛点在 \(A\) 中。

集合的闭包

令 \(A\) 是度量空间 \(X\) 的子集，定义 \(A\) 的闭包为

\[\text{cl} (A) := \text{cl}_X (A) := \bigcap_{B \in M} B \]

其中

\[M := \{B \subseteq X \, ; \, B \supseteq A \, \text{且} B \, \text{是} X \, \text{的闭集}\} \]

由于 \(X\) 是闭集且包含 \(A\)，因此集合 \(M\) 非空，从而定义有意义。由 Proposition 2.6(2) 可知，\(\text{cl}(A)\) 是闭集，由于 \(A \subseteq \text{cl} (A)\)，因此可知 \(A\) 的一个闭包是包含 \(A\) 的一个最小闭集，即是说，任何一个包含 \(A\) 的闭集，也包含 \(\text{cl}(A)\)。

在下个命题，我们展示 \(A\) 的闭包就是 \(A\) 的所有聚点的集合，即是说，\(\overline{A} = \text{cl}(A)\)。

2.12 Proposition

令 \(A\) 是度量空间 \(X\) 的子集，则 \(\overline{A} = \text{cl}(A)\).

证明：

证毕。

2.13 Corollary

令 \(A\) 和 \(B\) 是 \(X\) 的子集。

(1) \(A \subseteq B \implies \overline{A} \subseteq \overline{B}\)

(2) \(\overline{( \overline{A} )} = \overline{A}\)

(3) \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)

证明：

证毕。

该推论也可以导出对映射 \(h:\mathcal{P} (X) \to \mathcal{P} (X), \quad A \mapsto \overline{A}\) 单调且幂等，即是说 \(h \circ h = h\)。

集合的内点

闭集，聚点和闭包之间的关系对于开集可以有类似的讨论，闭包对应的概念是 \(A\) 的内部，定义为

\[\text{int} (A) := \text{int}_X (A) := \bigcup\{O \subseteq X \, ; \, O\subseteq A \, \text{且} O \, \text{是} X \, \text{的开集}\} \]

显然 \(\text{int}(A)\) 是 \(A\) 的子集，且由 Proposition 2.4(2) 可知 \(\text{int}(A)\) 是开集，因此 \(\text{int}(A)\) 是 \(A\) 的最大开子集。

聚点对应的概念就是我们之前定义的内点，我们定义内点集

\[\mathring{A} := \{a \in A \, ; \, a \, \text{是} A \, \text{的内点}\} \]

类似 Proposition 2.12，我们有以下命题。

2.14 Proposition

令 \(A\) 是度量空间 \(X\) 的子集，则 \(\mathring{A} = \text{int}(A)\)。

2.15 Corollary

令 \(A\) 与 \(B\) 是 \(X\) 的子集。

(1) \(A \subseteq B \implies \mathring{A} \subseteq \mathring{B}\)

(2) \((\mathring{A})^{\circ} = \mathring{A}\)

(3) \(A = \mathring{A} \iff A \,\text{是闭集}\)

(4) \(A \supseteq \mathring{A}\)

与闭集类似，映射 \(\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P} (X), \quad A \mapsto \mathring{A}\) 是单调且幂等。

集合的边界

直观地，我们希望在平面的一个圆盘，它的边界是圆。边界的概念应该能用开集和闭集的概念精确地描述。特别地，对于度量空间 \(X\) 中的一个子集 \(A\)，\(A\) 的（拓扑）边界被定义为 \(\partial A:=\overline{A} \setminus \mathring{A}\)。

2.16 Proposition

令 \(A\) 是 \(X\) 的子集。

(1) \(\partial A\) 是闭集。

(2) \(x\) 在 \(\partial A\) 中当且仅当 \(x\) 的每个邻域与 \(A\) 和 \(A^c\) 都有非空交。

证明：只需注意到 \(\partial A = \overline{A} \cap (\mathring{A})^c\)。

证毕。

Hausdorff 条件

下面的命题表明，在度量空间中，任意两个不同的点都有不相交的邻域。

2.17 Proposition

令 \(x,y \in X\) 使得 \(x \neq y\)，则存在 \(x\) 的邻域 \(U\) 和 \(y\) 的邻域 \(V\) 使得 \(U \cap V = \empty\)。

证明：

证毕。

Proposition 2.17 被称为 \(\text{Hausdorff}\) 条件。为了证明这个条件，我们用了度量的性质。事实上，存在一个（非度量）的拓扑空间不满足 \(\text{Hausdorff}\) 条件。

\(\text{Hausdorff}\) 条件的一个简单结果是

\[\bigcap \{U \, ; U \in \, \mathcal{U}_X (x)\} = \{x\}, \quad x \in X \]

这意味着充分多的邻域可以区分一个度量空间中的点。

2.18 Corollary

任意一个度量空间中的单元素子集都是闭集。

证明：

证毕。

Examples

我们用例子来说明这些新概念，包括以前章节提到的一些概念，如开区间、闭区间、开球、闭球等，会发现它们在拓扑上是一致的。

2.19 Examples

(a) 开区间 \((a,b) \subseteq \mathbb{R}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是开集。

(b) 闭区间 \([a,b] \subseteq \mathbb{R}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是闭集。

(c) 令 \(I \subseteq \mathbb{R}\) 是区间，\(a := \inf I\)，\(b:=\sup I\)。则

\[\partial I = \left\{ \begin{align*} & \empty, & \quad I = \mathbb{R} \,&\text{or}\,I=\empty \\ & \{a\}, & \quad a \in \mathbb{R} \, &\text{and}\, b = \infty \\ & \{b\}, & \quad b \in \mathbb{R} \,& \text{and}\, a = -\infty \\ & \{a,b\}, & \quad -\infty < & a < b < \infty \\ & \{a\}, \quad &a & = b \in \mathbb{R} \end{align*} \right. \]

(d) 闭球 \(\bar{\mathbb{B}}(x,r)\) 是开球。

证明：

证毕。

(e) 在任何一个度量空间中，对任意 \(r \ge 0\) 均有 \(\overline{\mathbb{B}(x,r)} \subseteq \bar{\mathbb{B}}(x,r)\)。如果 \(X\) 是一个赋范线性空间且 \(r > 0\)，则有 \(\overline{\mathbb{B}(x,r)} = \bar{\mathbb{B}}(x,r)\)。

证明：

证毕。

(f) 在任何一个赋范线性空间 \(X\) 中，

\[\partial \mathbb{B}(x,r) = \partial \bar{\mathbb{B} (x,r)} = \{y \in X \, ; \, \|x-y\| = r\} \]

(g) \(n\) 维球面 \(S^n := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \, ; \, |x|=1\}\) 在 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 上是闭集。

连续函数的刻画

我们现在应用这一节的内容对连续函数做进一步的刻画。

2.20 Theorem

令 \(f:X \to Y\) 是由度量空间 \(X\) 到 \(Y\) 的函数。则以下表述等价：

(1) \(f\) 是连续函数。

(2) 对 \(Y\) 中任一开集 \(O\)，\(f^{-1}(O)\) 在 \(X\) 中是开集。

(3) 对 \(Y\) 中任一闭集 \(A\)，\(f^{-1}(A)\) 在 \(X\) 中是闭集。

证明：

证毕。

2.21 Remark

由上述定理，一个函数连续当且仅当它对任一开集的原像是开集，当且仅当它对任一闭集的原像是闭集。对这个重要的结果，我们有另一种陈述，记度量空间 \(X\) 的拓扑为 \(\mathcal{T}_X\)，即

\[\mathcal{T}_X := \{O \subseteq X \, ; \, O \, \text{是} X \, \text{中的开集}\} \]

则有

\[f: X \to Y \text{是连续函数} \iff f^{-1}:\mathcal{T}_Y \to \mathcal{T}_X \]

即是说，\(f:X\to Y\) 是连续函数当且仅当 \(\mathcal{T}_Y\) 在集合函数 \(f^{-1}:\mathcal{P} (Y) \to \mathcal{P} (X)\) 下的像被包含在 \(\mathcal{T}_X\)。

下面的例子表明了 Theorem 2.20 能被用来证明一个给定集合是开集还是闭集。

2.22 Examples

(a) 令 \(X\) 和 \(Y\) 是度量空间，\(f:X \to Y\) 是连续函数。则对任意 \(y \in Y\)，\(y\) 的原像 \(f^{-1}(y)\) 在 \(X\) 中是闭集，即是说，等式 \(f(x)=y\) 的解集合是闭集。

(b) 令 \(k.n \in \mathbb{N}^{\times}\) 且 \(k \le n\)，则 \(\mathbb{K}^k\) 在 \(\mathbb{K}^n\) 是闭集。

证明：

证毕。

(c) 不等式的解集合：令 \(f:X \to \mathbb{R}\) 是连续函数，且 \(r \in \mathbb{R}\)，则 \(\{x \in X \, ; \, f(x) \le r\}\) 是 \(X\) 中的闭集且 \(\{x \in X \, ; \, f(x) < r\}\) 是 \(X\) 中的开集。

(d) \(n\) 维单位闭立方体

\[I^n := \{x \in \mathbb{R}^n \, ; \, 0 \le x_k \le 1,\, 1 \le k \le n\} \]

在 \(\mathbb{R}^n\) 中是闭集。

(e) 开集（或闭集）在连续函数下的像不一定是开集（或闭集）。

连续性延拓

令 \(X\) 和 \(Y\) 是度量空间，假设 \(D subseteq X\)，\(f : D \to Y\) 是连续函数且 \(a \in X\) 是 \(D\) 的极限点。如果 \(D\) 不是一个闭集，则 \(a\) 可能不在 \(D\) 中，因此 \(f\) 在点 \(a\) 没有定义。这一节我们考虑 \(f(a)\) 是否能够被定义以便 \(f\) 在 \(D \cup \{a\}\) 上连续。如果这样的延拓存在，则对于任意 \(D\) 中收敛到 \(a\) 的序列 \((x_n)\)，\((f(x_n))\) 必定收敛到 \(f(a)\)。

因此，我们对函数（不必是连续函数） \(f:D \to Y\) 和 \(D\) 中的一个收敛点 \(a\)，定义

\[\lim_{x \to a} f(x) = y \tag{2.1} \]

如果存在这样的 \(y \in Y\)，使得 \(D\) 中的任一收敛到点 \(a\) 的序列 \((x_n)\)，序列 \((f(x_n))\) 收敛到 \(y\)。

2.23 Remarks

(a) 以下表述等价：

(1) \(\lim_{x \to a} f(x) = y\)

(2) 对任一 \(y \in Y\) 的邻域 \(V\)，存在 \(a \in X\) 的邻域 \(U\) 使得 \(f(U \cap D) \subseteq V\)。

证明：

证毕。

(b) 如果 \(a \in D\) 是 \(D\) 中的一个极限点，则

\[\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \iff f \,\text{在点} a \,\text{连续} \]

2.24 Proposition

令 \(X\) 和 \(Y\) 是度量空间，\(D \subseteq X\)，且 \(f : D \to Y\) 连续，假设 \(a \in D^c\) 是 \(D\) 的极限点，且存在 \(y \in Y\) 使得 \(\lim_{x \to a} f(x) = y\)，则

\[\overline{f}:D \cup \{a\} \to Y, \quad x \mapsto \left\{ \begin{align*} f&(x), \quad & x \in D \\ &y, \quad & x = a \end{align*} \right. \]

是函数 \(f\) 到 \(D \cup \{a\}\) 的连续性延拓。

证明：

证毕。

由一种比较特殊的情况 \(X \subseteq \mathbb{R}\)，我们如下定义单边极限，假设 \(D \subseteq X\)，\(f : D \to Y\) 是一个函数且 \(a \in X\) 是 \(D \cup (-\infty, a]\) 的极限点，然后我们就可以类比 \(f(x)\) 定义左极限，此时的序列 \((x_n)\) 需 \(x_n < a\)，记作

\[f(a-) := \lim_{x \to a-} f(x) \]

右极限 \(\lim_{x \to a+} f(x)\) 可以类似左极限进行定义。类似地，我们写 \(y = \lim_{x \to \infty} f(x)\)，当且仅当对任一有 \(x_n \to \infty\) 的序列 \((x_n)\)，我们有 \(f(x_n) \to y\)。

2.25 Examples

(a) 假设

相对拓扑

令 \(X\) 是一个度量空间，\(Y\) 是 \(X\) 的子集，则 \(Y\) 可以是一个度量空间，其上定义度量 \(d_Y := d|Y \times Y\) 由 \(X\) 的度量 \(d\) 诱导，因此“在 \((Y,d_Y)\) 上的开集”和“在 \((Y,d_Y)\) 上的闭集”也能被很好地定义。

有另一种完全不使用度量来定义 \(Y\) 中开集的方法，这种定义方法仅需要 \(X\) 是一个拓扑空间即可。特别地，\(Y\) 的一个子集 \(M\) 是开集，当且仅当存在 \(X\) 中的开集 \(O\) 使得 \(M = O \cap Y\)。如果 \(M \subseteq Y\) 在 \(Y\) 中是开集，我们也说 \(M\) 在 \(Y\) 中相对开。这种定义方式，容易看到 \(X\) 上的拓扑结构诱导了 \(Y\) 上的拓扑结构。

因此我们有两种定义 \(Y\) 中开集的方式，下面命题表明这两种定义是等价的。

2.26 Proposition

令 \(X\) 是一个度量空间，且 \(M \subseteq Y \subseteq X\)，则 \(M\) 在 \(Y\) 中是开集当且仅当 \(M\) 在 \((Y,d_Y)\) 是开集。

证明：

证毕。

2.27 Corollary

令 \(M \subseteq Y \subseteq X\)，则 \(M\) 在 \(Y\) 中是开集当且仅当 \(Y \setminus M\) 在 \(Y\) 是闭集。

2.28 Examples

(a) 令 \(X := \mathbb{R}^2\)

一般拓扑空间

即使度量空间对于我们讨论中的绝大多数情况已经是非常自然结构，在之后的章节，或一些其他书籍中，一般拓扑空间也是非常重要的。