数学 - 微分方程数值解 - 第 1 章 一阶常微分方程初值问题 - 1.1 一阶常微分方程初值问题形式

1.1 一阶常微分方程初值问题形式

考虑一阶常微分方程初值问题：

\[\left\{ \begin{align*} & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y} = f(x, y(x)) \quad a \leqslant x \leqslant b\\ & y(a) = y_0 \end{align*} \right. \tag{1.1.1} \]

假设上述方程的解的存在且唯一，进一步假设函数 \(f(x,y)\) 连续，且关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件。所谓求数值解就是求 \(y(x)\) 在一些离散点上的近似值。

即对于给定节点：

\[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \]

求上述问题的解 \(y(x)\) 在节点 \(x_i\) 处的近似值 \(y_i\)。通常取两相邻节点之间距离相同，即相同步长：

\[x_{i+1} - x_i = h, \quad i=0,1,\cdots \]

求解常微分方程数值解的基本思路是步进法：后边节点值 = 前边节点值 + “斜率” ✖ 步长，一般数学形式为：

\[y_{n+1} = y_{n} + \varphi_n h \tag{1.1.2} \]