数据结构（二） --- 伸展树（Splay Tree）

     文章图片和代码来自邓俊辉老师课件

概述

        伸展树（Splay Tree），也叫分裂树，是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由丹尼尔·斯立特Daniel Sleator 和 罗伯特·恩卓·塔扬Robert Endre Tarjan 在1985年发明的。（出处百度百科）

        它的操作就是将访问到的元素放在根节点处。主要的操作就是 zip 和 zag

        下面是空间/时间复杂度（出处）

 

算法分析

双层伸展

      双层伸展的作用是提升了树平均的访问性能。构思的精髓 ： 向上追溯两层，而非一层。 右下角是伸展树需要处理的四种情况。具体的处理是怎么样的呢？

      双层伸展主要在 zig-zip 和 zag-zag 的情况下发挥作用，例如要使v 升到根节点，双层伸展要求我们使用先对祖父节点zig，然后再做一次zip ，即是下部分三幅图演示的那样。下面我们看一下使用这种方法真的可以提升性能吗。

 

 

分摊性能

       我们可以看到左边是逐层调整的方法，而右边是双层调整的方法，右边的子树的高度很明显比左边的矮了一半，当下一次又遇到最坏节点时，由于高度矮了一半了，那么性能自然就提升了。所以平均分摊时间可以达到 logn .

 

 

算法实现

       代码是根绝邓老师的提供的代码用java改写的，添加了部分注释

       主要处理的四种情况可以详见下面的代码

package Splay;


public class Node {
    Node left;
    Node right;
    Node parent;
    int value;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    public boolean isLeftChild() {
        return parent != null && (parent.left == this);
        //根节点，我们直接返回false
    }

    public boolean isRightChild() {
        return parent != null && (parent.right == this);
        //根节点，我们直接返回false
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "该节点的值为：" + value + " 左节点：" + ((left!=null)? left.value:"无") + " 右节点：" + ((right!=null)? right.value:"无") + " 父节点：" + ((parent!=null)? parent.value:"无");
    }
}

 

package Splay;


import com.sun.org.apache.bcel.internal.generic.IF_ACMPEQ;

import javax.management.modelmbean.ModelMBean;

/**
 * Splay Tree (伸展树)
 *
 *
 */
public class SplayTree {

    public Node root;

    /**
     * @param val 插入节点的值
     */
    public Node insert(int val) throws Exception {
        if (root == null) {
            root = new Node(val);
            return null;
        }
        Node node = search(val);
        //search操作查找是否存在该节点
        if (node.value == val) {
            return node;
        } else { //search操作找不到该节点,查找返回的是hot节点，插入的节点再和hot重新装配
            Node newRoot = new Node(val);
            if (val > node.value) {
                node.parent = newRoot;
                newRoot.left = node;
                newRoot.right = node.right;
                if (node.right != null) {
                    node.right.parent = newRoot;
                    node.right = null;
                }
            } else {
                node.parent = newRoot;
                newRoot.right = node;
                newRoot.left = node.left;
                if (node.left != null) {
                    node.left.parent = newRoot;
                    node.left = null;
                }
            }
            root = newRoot;
            return newRoot;
        }
    }

    /**
     * 删除某个节点
     * @param val 删除的节点
     * @return true 成功删除，反之
     */
    public boolean delete(int val)throws Exception{
       Node node =  search(val);
        if (node.value == val) {  //找到该节点
            if (node.left == null) { //没有左子树
                root = node.right;
                node.right.parent = null;
                node.right = null;
            } else if (node.right == null) { //没有右子树
                root = node.left;
                node.left.parent = null;
                node.left = null;
            }else { //节点存在左右子树
                //暂时切除左子树，然后右子树中最小的节点，在连接起来
                Node lTree = node.left;
                lTree.parent = null;
                root.left = null;
                search(node.value);
                //最小的节点必然上升到了根节点,此时的root应该是右子树中最小的节点
                root.left = lTree;
                lTree.parent = root;
                node = null; //原来的节点置null
            }
            return true;
        }else {
            return false;
        }
    }

    /**
     * 计算整个树的高度
     *
     * @return
     */
    public int height() {
        Node node;
        int lh = 1, rh = 1;
        node = root.left;
        while (node != null) {
            lh++;
            node = node.left;
        }

        node = root.right;
        while (node != null) {
            rh++;
            node = node.right;
        }

        return Math.max(lh, rh);
    }

    /**
     *  中序递归打印
     * @param node
     */
    public void printMidNum(Node node) {
        if (node != null) {
            printMidNum(node.left);
            System.out.print(node.value + " ");
//            System.out.println(node.toString());
            printMidNum(node.right);
        }
    }


    /**
     * @param value 使用伸展策略搜寻的某个值，
     * @return 返回查找到的node, 树中没有该元素返回null
     */
    public Node search(int value) throws Exception {
        /*
          搜索某个节点是不是存在，调用splay方法
         */
        Node compare;
        Node target; //目标节点
        Node hot = null; //目标附近节点
        compare = root;

        if (compare == null) {
            throw new Exception("该树为空树");
        }
        //查找某个节点
        while (true) {
            if (compare == null) {
                target = null;
                break;
            } else if (compare.value == value) {
                target = compare;
                break;
            }
            if (compare.value > value) {
                hot = compare;
                compare = compare.left;
            } else {
                hot = compare;
                compare = compare.right;
            }
        }

        if (target == null) {
            root = splay(hot);
            return null;
        }

        return (root = splay(target));
    }


    public void attachAsLChild(Node parent, Node lChild) {
        parent.left = lChild;
        if (lChild != null)
            lChild.parent = parent;
    }

    void attachAsRChild(Node parent, Node rChild) {
        parent.right = rChild;
        if (rChild != null)
            rChild.parent = parent;
    }

    /**
     * 传入的 v 必须存在于树中，由调用的方法保证
     * splay 方法针对情况进行转换，转换的思路是重新对各个节点的位置装配，装配的意思指的是
     * 根据初始的位置和最终的位置拆解-重连的操作
     *
     * @param v v为因最近访问而需伸展的节点位置
     * @return 调整之后新树根应为被伸展的节点，故返回该节点的位置以便上层函数更新树根
     */
    public Node splay(Node v) {
        if (v == null) return null;
        //*v的父亲与祖父
        Node p;
        Node g;
        while ((p = v.parent) != null && (g = p.parent) != null) { //自下而上，反复对*v做双层伸展
            Node gg = g.parent; //每轮之后*v都以原曾祖父（great-grand parent）为父
            if (v.isLeftChild()) {
                if (p.isLeftChild()) { //zig-zig
                    attachAsLChild(g, p.right);
                    attachAsLChild(p, v.right);
                    attachAsRChild(p, g);
                    attachAsRChild(v, p);
                } else { //zig-zag
                    attachAsLChild(p, v.right);
                    attachAsRChild(g, v.left);
                    attachAsLChild(v, g);
                    attachAsRChild(v, p);
                }
            } else if (p.isRightChild()) { //zag-zag
                attachAsRChild(g, p.left);
                attachAsRChild(p, v.left);
                attachAsLChild(p, g);
                attachAsLChild(v, p);
            } else { //zag-zig
                attachAsRChild(p, v.left);
                attachAsLChild(g, v.right);
                attachAsRChild(v, g);
                attachAsLChild(v, p);
            }

            //重连子树，并判断是否loop是否结束
            if (gg == null)
                v.parent = null; //若*v原先的曾祖父*gg不存在，则*v现在应为树根
            else //否则，*gg此后应该以*v作为左或右孩子
                if (g == gg.left) {
                    attachAsLChild(gg, v);
                } else {
                    attachAsRChild(gg, v);
                }

        }
        //双层伸展结束时，必有g == NULL，但p可能非空,即是目标到根节点之间还有一个节点，需要一次单旋解决
        if ((p = v.parent) != null) {
            if (v.isLeftChild()) {
                attachAsLChild(p, v.right);
                attachAsRChild(v, p);
            } else {
                attachAsRChild(p, v.left);
                attachAsLChild(v, p);
            }
        }
        v.parent = null;
        return v;
    }


}

       代码中的注释已经说明了各个操作的流程，需要注意的是insert 和 delete方法，由于这两个方法在实现的时候都会先调用search方法，我们使用了一个hot 节点，表示离目标节点最近的节点，让hot 节点上升到根节点，方便我们在insert和delete后续的使用。

 

综合评价

       不能保证单次最坏情况的出现的原因是，假如我们一开始要找的那个点就在最底下，那么就可能达到了最坏的情况。

 

参考资料

• 邓俊辉老师的数据结构课程