bzoj1485--HNOI2009有趣的数列--Catalan数

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件:

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai};

    (2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n

    (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i

    现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证,50%的数据满足n≤1000,100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

 

Output

仅含一个整数,表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

 

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,5,4,6),(1,3,2,4,5,6),(1,3,2,5,4,6),(1,4,2,5,3,6)。
 
题解:
  打表可以看出来,这题的结果是求卡特兰数第n项……
  当然也可以有实际意义,其中奇数项为入栈,偶数项为出栈,用1~2N这些数放进去,就成了卡特兰数。
  卡特兰数的公式 
 
 
  将式子展开以后得到

  因为数据范围很大,且p不保证是质数。我们考虑用分解质因数的方法来表示h(n),因为n+2~2n是在分子上,所以指数为正,而1~n在分母上,所以指数为负。

  对于数字i,当我们要把它的k次方放进结果中时,如果a是i的质因数,就把a的指数和i/a的指数都加k。

  因为上述过程可以迭代进行,故我们只需要求出数字的最小质因数即可,用线性筛求出。

  最后用一下快速幂将每个数字与其指数的结果乘到ans中。

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 #define ll long long
 7 using namespace std;
 8 
 9 const int maxn=2000009;//mindiv是最小质因数
10 int n,p,mindiv[maxn],pri[maxn],cnt[maxn],tot=0;
11 //cnt数组记录指数的值
12 ll poww(ll x,ll y,ll m)
13 {//快速幂
14     ll ret=1;
15     while(y)
16     {
17         if(y&1)
18             ret=1ll*ret*x%m;
19         x=1ll*x*x%m;
20         y>>=1;
21     }
22     return ret;
23 }
24 
25 void getpri(int n)
26 {//线性筛
27     for(int i=2;i<=n;i++)
28     {
29         if(!mindiv[i])
30             pri[++tot]=mindiv[i]=i;
31         for(int j=1,k;j<=tot&&pri[j]<=mindiv[i]&&(k=pri[j]*i)<=n;j++)
32         {
33             mindiv[k]=pri[j];
34             if(i%pri[j]==0)break;
35         }
36     }
37 }
38 
39 void calc(int x,int y)
40 {//计算指数
41     while(x>1)
42     {
43         cnt[mindiv[x]]+=y;
44         x/=mindiv[x];
45     }
46 }
47 int main()
48 {
49     //freopen("eccentric.in","r",stdin);
50     //freopen("eccentric.out","w",stdout);
51     scanf("%d%d",&n,&p);
52     getpri(2*n);
53     for(int i=1;i<=n;i++)calc(i,-1);
54     for(int i=n+2;i<=2*n;i++)calc(i,1);
55     int ans=1;
56     for(int i=2;i<=n*2;i++)
57     {
58         ans=(ll)ans*poww(i,cnt[i],p)%p;
59     }
60     printf("%lld\n",ans);
61     //fclose(stdin);
62     //fclose(stdout);
63     return 0;
64 }
View Code

 

posted @ 2017-09-29 11:51  BK-Edwina  阅读(155)  评论(0编辑  收藏  举报