P1004 方格取数 题解

原题：P1004 [NOIP 2000 提高组] 方格取数

方法：记忆化DFS（其实是三维DP）

因为 \(N\) 的范围比较小，考虑使用搜索。如果先搜索第一条路径，再搜索第二条路径，总状态数为：

\[\binom{2N-2}{\,N-1}^{2} =\Theta\!\Bigl(\frac{16^{\,N}}{N}\Bigr) \approx1.66\times10^{8} \]

因为再随便加点常数就爆炸了，所以考虑优化方案。
题意中包含“两条路都需要从左上角走到右下角，并且每一步只能向右或向下前进”的条件。如果我们同时搜索两条路，总状态数为：

\[ (2n-1)n^{2} = \Theta(n^{3})\approx1.7\times10^3 \]

可行。

状态设计

将方格抽象为果园，每个格子存储这一个格子拥有的果子数量。有两名玩家从左上角走到右下角，途中可以获得所有经过格子的果子。

令玩家的当前的位置为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)。每名玩家走过的总步数为 \(t=x+y-2\;(0\le t\le 2n-2)\)。
因为两名玩家同时前进，他们在每个时刻走过的总步数 \(t\) 相同，所以可以先确定 \(t\) 的值，再根据 \(t\) 决定每个玩家的位置。因此可得三维状态公式：\(f_{t,x_1,x_2} =\) 当步数为 t，第 1 人在行 x_1，第 2 人在行 x_2 时可获得的最大权值。列坐标计算公式：\(y = t+2-x\)。列坐标由 \(t\) 和 \(x\) 决定，不需要额外存储。

状态转移

记增量方向为：

\[(\Delta x_1,\Delta x_2)\in\{(0,1),(1,0),(0,0),(1,1)\}. \]

令每个格子的权重为 \(w\)（即有几个果子），若下一时刻两人到达 \((x'_1,y'_1),(x'_2,y'_2)\)，可得

\[\text{gain} = \begin{cases} w(x'_1,y'_1) + w(x'_2,y'_2), & (x'_1,y'_1)\ne(x'_2,y'_2),\\ w(x'_1,y'_1), & \text{otherwise}, \end{cases} \]

\[f_{t+1,x'_1,x'_2} = \max\bigl(f_{t+1,x'_1,x'_2},\; f_{t,x_1,x_2}+\text{gain}\bigr). \]

实现

• 用了哈希所以状态数组只有一维 qwq