ABC408D 翻译+题解

题面汉化

问题陈述

给定一个长度为 \(N\) 的字符串 \(S\)，仅由字符 '0' 和 '1' 组成。

你可以执行如下操作任意次（也可以不执行）：

• 选择一个整数 \(i\) 满足 \(1 \leq i \leq N\)，将 \(S_i\) 从 '0' 变为 '1'，或从 '1' 变为 '0'。

你的目标是让字符串中的 '1' 最多只形成一个连续区间。请计算为实现这一目标所需的最少操作次数。

更准确地说，你需要将 \(S\) 变为满足以下条件的形式，并求出所需的最小操作次数：

• 存在一对整数 \((l, r)\) 满足 \(1 \leq l \leq r \leq N+1\)；
• 对于所有 \(1 \leq i \leq N\)，\(S_i = \texttt{'1'}\) 当且仅当 \(l \leq i < r\)。

保证总能通过有限次操作达成目标。

给定 \(T\) 组测试数据，请分别求解。

限制条件

• \(1 \leq T \leq 2 \times 10^4\)
• \(1 \leq N \leq 2 \times 10^5\)
• \(S\) 是一个仅包含字符 '0' 和 '1' 的长度为 \(N\) 的字符串
• 每个输入文件中，所有测试数据的 \(N\) 总和不超过 \(2 \times 10^5\)
• \(T, N\) 均为整数

输入格式

输入由标准输入给出，格式如下：

\(T\)
\(\textrm{case}_1\)
\(\textrm{case}_2\)
\(\vdots\)
\(\textrm{case}_T\)

其中，第 \(i\) 组测试数据 case_i 的格式如下：

\(N\)
\(S\)

输出格式

输出 \(T\) 行。第 \(i\) 行（\(1 \leq i \leq T\)）应输出第 \(i\) 组测试数据的答案。

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题解

题意

选择一个区间 \([l, r)\)，使得将该区间外的 \(1\) 变为 \(0\)，区间内的 \(0\) 变为 \(1\) 所需要的翻转次数（代价）最少。

注意：因为我们不仅能把 \(1\) 变成 \(0\)，同时也能把 \(0\) 变成 \(1\)，因此不能只考虑保留最长的 \(1\) 串。我们也可以通过翻转 \(0\) 让两个 \(1\) 串合并。

思路

如果暴力枚举，复杂度为 \(O(N^2)\) 会超时。可以通过前缀和优化求区间代价的过程，但本质还是暴力枚举，依然需要优化。

令 \(c_0[i]\) 为 \(s[i]\) 之前（包括 \(s[i]\) ）的 \(0\) 的数量，\(c_1[i]\) 为 \(s[i]\) 之前（包括 \(s[i]\) ）的 \(1\) 的数量。总代价为：

\[\begin{align*} cost &= c_0[r]-c_0[l-1]+c_1[n]-c_1[r+1-1]+c_1[l-1]-c_1[1-1]\\ &= c_0[r]-c_0[l-1]+c_1[n]-c_1[r]+c_1[l-1]-c_1[0]\\ &= c_0[r]-c_1[r]-(c_0[l-1]-c_1[l-1])+c_1[n]-c_1[0] \end{align*} \]

令：

\[diff[x] = c_0[x]-c_1[x] \]

得：

\[cost = diff[r] - diff[l-1] + c_1[n]-c_1[0] \]

因为 \(c_1[n]\) 和 \(c_1[0]\) 都是常数，此时将问题转化为：在数组 \(diff\) 上选择一个区间 \([l, r)\)，使得 \(diff[r] - diff[l-1]\) 最大。使用双指针优化，在遍历每个 \(r\) 的同时维护最大的 \(diff[l-1]\) 即可将复杂度优化为 \(O(N)\)。

最终代码