Prerequisites and Preliminaries

2025 年还有书没有中译本是不是无敌了。觉得这篇写的言语不通是很正常的，因为可能我还没将内容理解到能用通顺的中文写出来的程度。

P 和 Q 都是明确的布尔值状态，implies 指的是一个状态 \(P\to Q\)，为假当且仅当 P 为真且 Q 为假，这意味着 P 为假的时候 implies 恒为真。

我也不知道以下遵循的是什么理论，大概兼具 ZFC 和 NGB。将类、成员关系、等价关系当作 primitive notions，不对其作出定义，直观的理解是将类当作若干个对象（object）的总体（collection），同时每个对象都是明确地被包含或者不包含。所有公理被这些 primitive notions 公式化地描述（例如借助关联词 and、or、implies 或者 there exists、for all）。外延公理指出 \([x\in A\Leftrightarrow x\in B]\to A=B\)。

一个类 \(A\) 被称作集合当且仅当存在一个类 \(B\) 包含 \(A\)，不是集合的类被称为真类（proper class）。真类不可作为对象（集合类可以），直观上这很难理解，无法符合逻辑顺序地定义类和对象两者，因此我们将类视作 primitive notion，很多文章将对象视作 primitive notion。真类和集合的区分往往很不直观，等会将会举出一个真类的例子。The axiom of class formation（中文将其译为概括公理，我觉得不太准确）在康托尔首次提出的时候被表述为对于任意状态 \(P(y)\)，存在一个集合恰好包含所有 \(P(y)\) 为真的 \(y\)，这因此导致了罗素悖论，考察 \(P(x)=[x\notin x]\)，那么存在一个集合 \(M=\{x|x\notin x\}\)，由于集合可以作为对象，不难推导出 \(M\in M\) and \(M\notin M\)。罗素对公理做出修改，挽救了基础数学。现在公理被表述为存在一个类恰好包含所有 \(P(y)\) 为真的 \(y\)。

回顾一些经典的集合运算（union、intersections、functions、relations、Cartesian products），有相当多的公理保证了若一个类可以被集合通过集合运算得到，则这个类是集合类。类 \(A\) 是类 \(B\) 的子类被描述为：for all \(x\in A\Rightarrow x\in B\)，记作 \(A\subset B\)。根据外延公理得到 \(A=B\Leftrightarrow A\subset B\text{ and }B\subset A\)。若 \(A\) 本身是一个集合类则 \(A\) 被称为 \(B\) 的子集，公理保证了集合类的子集一定是集合。

空集（\(\emptyset\)）被定义为 given any x，\(x\notin\emptyset\)。因此 \(\emptyset\subset B\) 对于任何类 \(B\) 总是成立的。\(A\) 被称为 \(B\) 的真子类（proper subclass）当且仅当 \(A\subset B\) 且 \(A\neq\emptyset\) and \(A\neq B\)。

幂集公理指出对于任意集合 \(A\)，存在一个恰包含 \(A\) 所有子集的集合，记作 \(2^A\)。相对差集（relative complement）定义在 \(B\) 与其子类 \(A\) 上，\(B-A=\{x|x\in B\text{ and }x\notin A\}\)。

略过对若干个集合并、交的定义。在我们的讨论下定义一个集合 \(U\)（宇宙，Universe），为全集。\(A'\) 为 \(U-A\)。有一些在集合交、并意义下的运算法则，此处略去。

公理化集合论的内容将在以后进一步补充。接下来的内容是函数，这部分将不会过多介绍。给出两个类 \(A\) 和 \(B\)，函数是一个对于 \(a\in A\) 都存在 \(f(a)\in B\) 的“映射”。\(A\) 为定义域，\(B\) 为陪域（codomain）。两个函数被认为是相同的当且仅当定义域、陪域、定义域到陪域的映射相同。对于函数 \(f:A\to B\) 以及 \(S\subset A\)，\(f|S:S\to B\) 称作 \(f\) 对 \(S\) 的 restriction（限制？），接下来关于函数的内容将被跳过，有点过于枯燥了。

回到公理化集合论，我们将尝试在上文破败不堪的语言中借助李文威的《代数学方法》重新解释集合论。首先说明，接下来采用的是 ZFC，即 Zermelo-Fraenkel 公理集合论并承认选择公理。首先将集合的定义作为 primitive notion，遵循一切对象皆集合。ZFC 本身构筑于一阶逻辑、二元谓词和九条公理。一阶逻辑可以判定一个公式是否合乎语言的规则，但是接下来的公理将不会采取一阶逻辑的严格形式。

1. 外延公理：此前已经介绍过，若两集合有相同元素，则两集合相等。

2. 配对公理：对任意 \(xy\)，存在集合 \(\{x,y\}\)，其元素恰好是 \(x\) 和 \(y\)。

3. 分离公理模式：即上文罗素对 The axiom of class formation 做出修改后的公理。

4. 并集公理：集合族的并为集合。通常在公理中使用 \(X\) 表示一族集合。

5. 幂集公理：上文已经说过。

6. 无穷公理：存在无穷集。用形式的一阶逻辑刻画就是 \(\exists x[(\emptyset\in x)\land\forall y\in x(y\cup\{y\}\in x)]\)。这个刻画看上去不知道在做什么，我们将用例子来说明。在例子中将初步感受到无穷序数的概念。

将 \(0\) 定义为空集，则 \(0\cup \{0\}=\{0\}\in x\)，将 \(1\) 定义为 \(\{0\}\)（即 \(\{\emptyset\}\)），则 \(1\cup\{1\}=\{0,1\}\in x\)，进一步地可以构造出无穷集。这也是即将构造的无穷序数 \(\omega\)。

7. 替换公理模式：类似分离公理模式，设 \(F\) 是一个以 \(X\) 为定义域的函数，则存在集合 \(F(X)=\{F(x):x\in X\}\)。

8. 正则公理：任意非空集含有一个对 \(\in\) 极小的元素。

9. 选择公理：设 \(X\) 每个元素皆非空，则存在函数 \(g:X\to\cup X\) 使得 \(\forall x\in X\)，\(g(x)\in x\)。

数集的构造将在下文给出，至于集合的运算将不再赘述，下文中集合的乘法指的是集合笛卡尔积，以下将介绍等价关系和商集的概念。对于任意 \(n\ge 1\)，集合 \(X\) 上的 \(n\) 元关系是 \(X^n\) 的一个子集 \(R\)，多数考虑的是二元关系，此时 \(xRy\) 表示 \((x,y)\in R\)。满足以下性质的二元关系 \(\sim\) 称作等价关系。

• 反身性：\(x\sim x\)。

• 对称性：\(x\sim y\Rightarrow y\sim x\)。

• 传递性：\(x\sim y\land y\sim z\Rightarrow(x\sim z)\)。

根据传递性可将集合划分成若干等价类，含 \(x\) 的等价类记作 \([x]:=\{y\in X:y\sim x\}\)。商集被定义为全体等价类，即 \(X/\sim:=\{[x]:x\in X\}\)。如此得到 \(X\) 的划分。用 \(X\sqcup Y\) 代表 \(X\) 和 \(Y\) 的无交并（对称差），用 \(X^Y\) 代表所有函数 \(f:Y\to X\) 构成的集合，特别地 \(2^X=P(x)\)，这里 \(2\) 代表恰有两个元素的集合。用 \(\{\rm{pt}\}\) 代表恰有一个元素的集合。不对空集的交 作出定义，“这在 ZFC 系统内是犯规的”。

研究另一种二元关系。对于集合 \(P\) 和其上的二元关系 \(\leq\)，将 \((P,\leq)\) 称作偏序集，当：

• 反身性：\(\forall x\in P\)，\(x\leq x\)。

• 传递性：\((x\leq y)\land(y\leq z)\Rightarrow x\leq z\)。

• 反称性：\((x\leq y)\land(y\leq x)\Rightarrow x=y\)。

仅满足前两者的称为预序集。预序集间满足 \(x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\) 的映射称为保序映射。一般用 \(x<y\) 表示 \(x\leq y\) 且 \(x\neq y\)。设 \(PQ\) 为偏序集，若映射 \(f:P\to Q\) 满足 \((x<x')\Rightarrow f(x)<f(x')\)，则称 \(f\) 是严格增的。若 \(f:P\to Q\) 是双射且 \(f\) 和 \(f^{-1}\) 皆保序，则 \(f\) 为 \(PQ\) 间的同构，偏序集的同构类称为序型，偏序集的子集自然继承偏序。

对于预序集 \(P\)，\(P'\subset P\) 可以定义极大元、上界、上确界。\(x\in P\) 是 \(P\) 的极大元当且仅当不存在 \(y\in P\) 使得 \(x\leq y\)。\(x\in P\) 是 \(P'\) 的上界当且仅当对于 \(y\in P'\) 都有 \(y\leq x\)，\(x\) 为上确界当且仅当其为上界且对于任意上界 \(y\)，有 \(x\leq y\)。偏序集若有上确界、下确界，则上下确界唯一，记为 \(\rm{sup}P'\) 和 \(\rm{inf}P'\)。

若偏序集任意大小不超过 \(2\) 的子集皆有上界，则为滤过序集。若偏序集任意两个元素均可比大小，则其为全序集，若全序集任意一个子集均存在极小元，则其为良序集。

幂集 \(P(x)\) 为关于包含关系的滤过偏序集，非负整数集 \(\mathbb{Z}_{\ge 0}\) 和实数 \(\mathbb{R}\) 集为全序集，\(\mathbb{Z}_{\ge0}\)
为良序集。

接下来给出的引理对于稍有数学基础的人来说是极显然的，但是由于我们尚未定义“集合大小”这种基础概念（基数），因此阅读时不能以初等角度观之。设 \(P\) 为良序集，映射 \(f:P\to P\) 严格增，则对 \(x\in P\) 有 \(f(x)\ge x\)。同时对于 \(P\) 而言，\(P\) 没有非平凡的自同构，对任意 \(x\in P\)，不存在 \(P\) 到 \(P_{<x}\) 的同构。我们仅对第一个断言作出证明，考虑取非空集合 \(P_0:=\{x\in P:f(x)<x\}\)，对任意 \(z\in P_0\) 有 \(f(f(z))<f(z)\)（\(f\) 严格增），取 \(z\) 为 \(P_0\) 的最小元即可推出矛盾。

良序集 \(P\) 的一个 \(P_{<x}\) 的子集继承其的良序性质，称为 \(P\) 的一个前段。

回顾上文在无穷公理中的构造方式，我们将满足 \(x\in X\Rightarrow x\subset X\) 的集合 \(X\) 称作传递集。这个定义看上去非常奇怪，实际上我们仍然可以借助无穷公理中的例子。\(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) 是传递集，因为 \(\emptyset\) 为其子集，\(\{\emptyset\}\) 为其包含了 \(\emptyset\) 的子集。但是 \(\{\emptyset,\{\{\emptyset\}\}\}\) 不是传递集，\(\{\{\emptyset\}\}\) 并不为其子集，集合中不存在 \(\{\emptyset\}\) 这样一个元素。

若一个传递集满足 \((\alpha,\in)\) 构成一个良序集，则将 \(\alpha\) 称为序数。记 \(\alpha\cup\{\alpha\}\) 代表 \(\alpha\) 的后继，若 \(\alpha\) 为序数，则 \(\alpha\) 的后继也为序数。

序数初步的想法是作为良序集的序型（我们虽尚未证明同构是一个等价关系，但是其足够显然），但是这样下去会导致操作“类的类”。幸而可以从每个良序型中挑出一个标准的良序集，von Neumann 对序数作出了定义。

若 \(\alpha\) 为序数，则 \(\beta\in\alpha\) 为序数。对任两个序数 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，若 \(\alpha\subsetneq\beta\) 则 \(\alpha\in\beta\)。对任两个序数 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，必有 \(\alpha\subset\beta\) 或 \(\beta\subset\alpha\)。

定义 \(\rm{On}\) 为序数类。定义其上的偏序关系为 \(x<y\Leftrightarrow x\in y\)，则这是类上的一个全序（由上文引理，显然）。对任意序数 \(\alpha\) 都有 \(\alpha=\{\beta:\beta<\alpha\}\)。直觉上 \(\rm{On}\) 为良序，但是在此处讨论其的良序未免操之过急，若读者认为将序数类视作良序在理解上会带来很大方便，也可如此理解，因为其确为良序。

接下来的性质较为重要。设 \(C\) 是序数构成的类，则 \(\rm{\inf }C:=\cap C\)（回忆一下，这是 \(C\) 的下确界）也是序数，且 \(\rm{\inf }C\in C\)，有 \(\alpha\sqcup\{\alpha\}=\rm{\inf }\{\beta:\beta>\alpha\}\)。

设 \(S\) 为序数构成的集合，则 \(\rm{\sup} S:=\cup S\) 也为序数。可知 \(\beta<\alpha\) 蕴含 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的前段。序数 \(\rm{On}\) 为真类，考虑从 \(\rm{sup(On)}\) 入手反证，此为 Burali-Forti 悖论，面世早于罗素悖论。

若对于序数 \(\alpha\)，其不为任何序数的后继，则有 \(\alpha=\rm{sup}\{\beta:\beta<\alpha\}\)，这样的 \(\alpha\) 被称为极限序数约定 \(\emptyset\) 为极限序数。考虑取序数 \(0:=\emptyset\)，不断取后继得到序数 \(0,1,2,\dots\)。接下来证明非零极限序数存在，其必然包含所有 \(0,1,2,\dots\) 且由他们构成。无穷公理中给出了归纳集的定义，若 \(x\) 为归纳集，取 \(\alpha:=\{y\in x:y\subset x,y\in\rm{On}\}\)，直接有：\(\alpha\) 非空（\(\emptyset\in\alpha\)），\(\alpha\) 为序数，\(y\in\alpha\Rightarrow y+1\in\alpha\)。因此 \(\alpha\) 为极限序数。取 \(\omega=\rm{inf}\{\text{非零极限序数}\}\) 即为最小的极限序数，\(n<\omega\) 的序数 \(n\) 称为有限序数。序数 \(\omega\) 即为未免所熟知的非负整数集，其后继运算满足 Peano 的算术公理。