【未整合】数学 day3.2

阶

对于 \(\gcd(a,p)=1\)，最小的 \(t\) 使得 \(a^t\equiv 1(\bmod p)\) 称为 \(a\) 的阶。写作 \(\operatorname{ord}_p(a)\)。

若 \(a^k\equiv 1(\bmod p)\)，当且仅当 \(\operatorname{ord}_p(a)|k\)。

求阶的复杂度是 \(O(\sqrt{n})\)。

给定 \(\gcd(a,p)=\gcd(b,p)=1\)，问是否存在 \(t\) 使得 \(a^t\equiv b(\bmod p)\)。

\(\operatorname{ord}_p(b)|\operatorname{ord}_p(a)\) 是充要条件。

不会证。

原根

若 \(\gcd(a,p)=1\) 且 \(\operatorname{ord}_p(a)=\phi(p)\)，则称 \(a\) 为模 \(p\) 意义下的原根。

所有质数都存在原根。

从求阶的过程来证明。

后面没听。

莫比乌斯反演

定义域为正整数的函数被称为数论函数。

莫比乌斯反演是狄利克雷前缀和的逆变换。