从灾后重建看Floyd的本质

本文参考《算法竞赛》。

笔者初次接触 Floyd 是在 zhx 的课上，感觉 zhx 并没有从算法本质出发来解释 Floyd，于是有了这篇文章。

我们都知道 Floyd 的状态设计和转移方程，下面给出转移方程：

\[dp_{k,i,j}=\min(dp_{k-1,i,j},dp_{k-1,i,k}+dp_{k-1,k,j}) \]

现在来考虑这个转移的意义，这里结合《算法竞赛》的原文给出。

想象图中每个点都是一盏灯，开始时所有灯都是灭的。然后逐个点亮灯，点亮第 \(k\) 盏灯，重新计算 \(i,j\) 的最短路，如果经过第 \(k\) 盏灯有最短路径就更新，所有灯都点亮后，计算结束。

此处说的较为省略，笔者加以补充。

我们将状态重新定义为点亮第 \(k\) 盏灯后，\((i,j)\) 之间只经过亮灯的最短路。考虑现在 \((i,j)\) 的最短路可能发生什么变化。由于加入了第 \(k\) 盏灯，我们就有可能会出现一种新的最短路经过 \(k\)，即 \(dp_{k-1,i,k}+dp_{k-1,k,j}\)，借此更新答案。

关于初始化，如果 \(i\rightarrow j\)，那么不点灯时 \((i,j)\) 就存在最短路，\(dp_{0,i,j}=V_{i,j}\)；另外，\(dp_{0,i,i}\)。

HDU1385 输出最短路径问题

tips:记录 \(nxt_{i,j}\) 代表 \(u\rightarrow j\) 的最短路上 \(i\) 的下一个点。

Floyd 判断负环

重新修改 \(dp_{k,i,i}\) 的定义为点亮第 \(k\) 盏灯后，\(i\) 经过某些亮灯后回到自己的最短路，初始化为 \(0\)，如果在任意时刻出现 \(dp_{k,i,i}<0\)，则存在负环。

这里请读者自证，我们主要来说明一下为什么不会影响转移。

显然，如果要在转移中用到 \(dp_{k,i,i}\)，只会在 \(k'=i\) 这一阶段用到，从意义上来说，此时断无可能有新路径经过 \(k\)，因为我们在 Floyd 中路径不包含起点和终点。所以从 \(dp_{k',i,j}\) 直接转移即可。

楼房重建

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我们可以将损坏的楼房视为暗灯，重建的楼房视为亮灯，于是可以离线处理所有操作，按照时间顺序分阶段进行 Floyd 即可。

P1613 跑路

求解传递闭包