第三次作业

实践报告：动态规划法求解“数字三角形”问题分析
一、动态规划法求解“数字三角形”问题步骤分析

问题描述：数字三角形由n行数字组成，第i行有i个数字。从顶部出发，每次只能向下或向右下移动，路径上所有数字之和为路径和，求最大路径和。
1.1 递归方程式（基于最优子结构）
状态定义：设dp[i][j]表示从第i行第j列（行列均从1开始计数）的数字出发，到达三角形底部的最大路径和。
-最优子结构性质：从(i,j)出发，下一步只能到(i+1,j)或(i+1,j+1)，因此dp[i][j]取决于这两个位置的最大路径和，即：
dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
边界条件：当到达最后一行（i = n）时，路径终止，最大路径和即为自身数值，即：
dp[n][j] = triangle[n][j]（其中j的范围为1 ≤ j ≤ n）。 1.2 填表法细节 表的维度：二维表dp，维度为n×n（n为三角形行数，第i行有i个有效元素）。 填表范围：第i行的列索引j范围为1 ≤ j ≤ i（仅填充有效位置）。 填表顺序：采用自底向上填表。从最后一行（i = n）开始，依次向上填充第n-1行、第n-2行……直到第1行。原因是计算dp[i][j]需依赖下方两行的dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]，自底向上可确保依赖项已提前计算。 原问题的最优值：三角形顶部元素(1,1)对应的dp[1][1]，即从顶部出发的最大路径和。 1.3 时间和空间复杂度分析 时间复杂度：需填充的表格元素总数为1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2，每个元素的计算仅需常数时间（取最大值和加法），因此时间复杂度为O(n²)。 空间复杂度：若使用二维表dp`存储所有状态，空间复杂度为O(n²)。优化后可仅用一维数组（滚动数组）存储当前行的下一行状态，空间复杂度可降至O(n)。
二、对动态规划算法的理解和体会

1. 核心思想：动态规划（DP）通过将原问题分解为重叠子问题，利用子问题的最优解（最优子结构）推导出原问题的最优解，避免了递归法中重复计算子问题的弊端（通过存储中间结果——“备忘录”或“DP表”实现）。
2. 适用场景：问题需满足两个关键条件：一是最优子结构（原问题的最优解包含子问题的最优解）；二是子问题重叠（多个子问题重复出现，可通过存储避免重复计算）。
3. 实现关键：
   定义清晰的状态（如dp[i][j]的含义）是核心，状态需准确描述子问题。
   推导递归方程（状态转移方程）需基于最优子结构，明确子问题间的依赖关系。
   确定填表顺序（自底向上或自顶向下+备忘录）需根据依赖关系判断，确保计算时依赖的子问题已解决。
4. 优势与局限：动态规划能高效解决具有重叠子问题的优化问题，时间复杂度通常远低于暴力递归；但设计状态和转移方程较抽象，需对问题结构有深入理解，且空间复杂度可能较高（可通过优化存储缓解）。
   动态规划的本质是“用空间换时间”，其核心在于“发现重复、记录结果、复用结果”，是解决优化问题的强大工具。