第二次作业

1.找第 k 小的数的分治算法
1.选择数组（或当前区间）中的一个元素作为基准值。
2.对数组进行分区：将小于等于基准值的元素放到基准值左侧，大于等于基准值的元素放到右侧，得到基准值的最终位置。
3.计算基准值在当前区间中的 “排名”（即当前区间内基准值是第几个小元素）。
4.比较排名与 k：
若排名等于 k，基准值就是第 k 小的数，直接返回。
若排名大于 k，第 k 小的数在基准值左侧区间，递归处理左区间。
若排名小于 k，第 k 小的数在基准值右侧区间，递归处理右区间（此时 k 需减去左区间元素个数，即找右区间的第 k - 左区间长度小的数）。
5.重复上述步骤，直到区间缩小为单个元素（此时该元素就是目标）。
伪代码
plaintext
Function findKthSmallest(arr, left, right, k):
// 分：通过分区得到基准值位置
pivotPos = partition(arr, left, right)
// 计算基准值在当前区间的排名
rank = pivotPos - left + 1
// 治：根据排名判断目标位置
if rank == k:
return arr[pivotPos]
elif rank > k:
// 目标在左区间，递归处理左区间
return findKthSmallest(arr, left, pivotPos - 1, k)
else:
// 目标在右区间，递归处理右区间（调整k值）
return findKthSmallest(arr, pivotPos + 1, right, k - rank)

// 分区辅助函数（核心逻辑同之前代码）
Function partition(arr, left, right):
pivot = arr[left] // 选左端点为基准值
while left < right:
while left < right and arr[right] >= pivot:
right -= 1
arr[left] = arr[right]
while left < right and arr[left] <= pivot:
left += 1
arr[right] = arr[left]
arr[left] = pivot
return left
2. 算法时间复杂度分析
最好时间复杂度：O (n)
理想情况下，每次分区都能将数组分成大致相等的两部分（基准值是当前区间的中位数）。
第一次分区处理 n 个元素，第二次处理 n/2 个，第三次处理 n/4 个，以此类推，总操作次数为 n + n/2 + n/4 + ... + 1 ≈ 2n，时间复杂度为 O (n)。
最坏时间复杂度：O (n²)
最坏情况是每次分区都将数组分成 “极不均衡” 的两部分（如基准值是当前区间的最小值或最大值）。
第一次分区处理 n 个元素，第二次处理 n-1 个，第三次处理 n-2 个，以此类推，总操作次数为 n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n (n+1)/2，时间复杂度为 O (n²)。
3.对分治法的体会和思考
找第 k 小元素的暴力解法是 “排序后取值”，时间复杂度 O (n log n)，而分治法通过 “分区” 拆解问题，平均时间复杂度降至 O (n)，效率大幅提升。
其本质是通过 “拆分” 缩小问题规模，将高复杂度的全局操作转化为低复杂度的局部操作，避免了对整个问题的 “一刀切” 处理。