树的直径

这次介绍树形DP求法。

在上一次的最后已经提到了思路，但是处理不共边还是需要使用树形DP，所以这里详细介绍。

首先这次的树形DP依然是以 dfs 的形式存在，我们使用 \(dis1_i\) 和 \(dis2_i\) 分别记录以 \(i\) 为起点的最长链长度和次长链长度，答案就是 \(max(dis1_i + dis2_i)\)。

然后，假设当前的点是 \(u\)，下一个是 \(v\)，边权是 \(w\)，如果 \(v\) 能更新 \(u\) 的最长链，就要满足 \(dis1_u > dis1_v + w\)，这样才能更新，此时的 \(dis2_u\) 就要更新为之前的最长链，最长链就更新为上面的东西。

如果不能更新最长链，就判断能不能更新次长链，如果可以，就直接更新。注意，这里的前提是不能更新最长链。

具体代码

void dfs(int u,int fa)
{
	for(auto v:g[u])
	{
		if(v!=fa)
		{
			dfs(v,u);
			if(dis1[v]+1>dis1[u])
			{
				dis2[u]=dis1[u];
				dis1[u]=dis1[v]+1;
			}
			else if(dis1[v]+1>dis2[u])
			{
				dis2[u]=dis1[v]+1;
			}
		}
	}
	return;
}

Luogu-B4016

模板题，板子在上面。

Codeforces-1404B

这题看着像一个博弈论，但是实际根本不用。

首先，如果 A 和 B 之间的距离小于等于 \(da\)，说明 A 一步就可以抓到，A 必胜。

然后，B走到某个点后一定会折返，因为 A 把 B 逼到角落了，B 只能穿过 A 折返来逃跑，但是跑出去的距离一定要大于 \(da\)，不然一跑出去就被抓了。

还有一种情况 A 可以抓到 B，就是 A 可以直接蹲在树的中心，如果 \(da \ge \lceil \frac{直径}{2} \rceil\)，那么 B 就无论躲在哪里，A 只要往中心一站，都可以抓到。

那么，如果以上几种情况都不能满足，B 就可以和 A 一直周旋，所以 B 赢。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,a,b,da,db,dis1[N],dis2[N],x;
vector<int> g[N];
void dfs(int u,int fa)
{
	for(auto v:g[u])
	{
		if(v!=fa)
		{
			dfs(v,u);
			if(dis1[v]+1>dis1[u])
			{
				dis2[u]=dis1[u];
				dis1[u]=dis1[v]+1;
			}
			else if(dis1[v]+1>dis2[u])
			{
				dis2[u]=dis1[v]+1;
			}
		}
	}
	return;
}
void D(int u,int fa,int sum)
{
	if(u==b)
	{
		x=sum;
		return;
	}
	for(auto v:g[u])
	{
		if(v!=fa)
		{
			D(v,u,sum+1);
		}
	}
	return;
}
void solve()
{
	cin>>n>>a>>b>>da>>db;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		g[i].clear(),dis1[i]=dis2[i]=0;
	}
	for(int i=1,x,y;i<n;++i)
	{
		cin>>x>>y;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,0);
	int len=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) len=max(len,dis1[i]+dis2[i]);
	D(a,0,0);
	if(da>=x||db<=2*da||da>=(len+1)/2)
	{
		cout<<"Alice\n";
		return;
	}
	cout<<"Bob\n";
	return;
}
signed main()
{
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) solve();
	return 0;
}

Luogu-P3174

毛毛虫就是扯出来一条链，然后每个链上节点可以挂其它的节点，但是其它节点不能挂另外的节点，最后构造出来的东西就是毛毛虫。

那这题就很好做了，我们依然求树的直径，但是这个直径记录的是点数最多，不是边数最多。

令 \(c_i\) 表示 \(i\) 的连接边数，那么，在毛毛虫中的所有点（不包含端点）的贡献就是 \(c_i - 2\)，因为不能包含下一个节点和上一个节点。

两端的贡献就是 \(c_i - 1\)。

然后直接跑改版的树的直径即可。