树的直径

定义

一个树的直径就是树上两个点的距离中最长的距离。

性质

• 树的直径的路径不一定唯一。

• 树的端点一定是度数为 \(1\) 的点。

• 树的直径若有多条，则一定交汇于数的中心（以这个点为根，树的最大深度最小）。

• 树上任意点 \(i\)，距离 \(i\) 最远的点，一定是树的直径的端点之一。

求法

1. Floyd 暴力求索。

2. 两遍 DFS，利用性质 \(4\)，从任意一个点开始 DFS，找到距离这个点最远的点 \(x\)，然后从 \(x\) 开始 DFS，找到最远的点 \(y\)，则点 \(x\) 和 \(y\) 为数的直径的两端。不过在取最大值的时候，不能写当前长度大于最大长度，要大于等于，因为后面的可能长度一样，但是点要重新取。

例题

Luogu-B4016

思路

模板题，套上面的思路。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, x, mx;
bool vis[100005];
vector<int> g[100005];

void dfs(int u, int sum) {
	vis[u] = 1;
	if (sum >= mx) {
		mx = sum;
		x = u;
	}
	for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) {
		int v = g[u][i];
		if (!vis[v]) {
			dfs(v, sum + 1);
		}
	}
	return;
}

int main() {
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	for (int i = 1, x, y; i < n; ++i) {
		cin >> x >> y;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
	dfs(1, 0);
	fill(vis + 1, vis + n + 1, 0);
	dfs(x, 0);
	cout << mx;
	return 0;
}

HDU-2196

思路

方法一：

直接暴力 DFS。

方法二：

利用树的直径的性质 \(4\)，找出两个端点 \(x\)，\(y\)，最远的点一定是它们当中的一个，所以从它们开始跑最短路 \(disx_i\) 和 \(disy_i\)，然后答案就是 \(\max(disx_i , disy_i)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int n,x,mx,a,b,dis[N][2];
bool vis[N];
struct Node{
	int v,w;
};
vector<Node> g[N];
void dfs(int u,int sum)
{
	vis[u]=1;
	if(sum>=mx)
	{
		mx=sum;
		x=u;
	}
	for(int i=0;i<g[u].size();++i)
	{
		int v=g[u][i].v,w=g[u][i].w;
		if(!vis[v])
		{
			dfs(v,sum+w);
		}
	}
	return;
}
void dfs2(int u,int f)
{
	vis[u]=1;
	for(int i=0;i<g[u].size();++i)
	{
		int v=g[u][i].v,w=g[u][i].w;
		if(!vis[v])
		{
			dis[v][f]=dis[u][f]+w;
			dfs2(v,f);
		}
	}
	return;
}
signed main() 
{
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
	while(cin>>n)
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			g[i].clear();
			vis[i]=0;
			dis[i][0]=dis[i][1]=0;
		}
		a=0,b=0;
		for(int i=2,y,z;i<=n;++i)
		{
			cin>>y>>z;
			g[i].push_back({y,z});
			g[y].push_back({i,z});
		}
		mx=0,x=0;
		fill(vis+1,vis+n+1,0);
		dfs(1,0);
		a=x;
		fill(vis+1,vis+n+1,0);
		dfs(x,0);
		b=x;
		fill(vis+1,vis+n+1,0);
		dfs2(a,0);
		fill(vis+1,vis+n+1,0);
		dfs2(b,1);
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			cout<<max(dis[i][0],dis[i][1])<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}

Codeforces-734E

思路

我们先将一个颜色且联通的连通块缩成一个点，

然后，此时的树必定是黑白交替的，那么最终的答案就是 \(\lceil \frac{直径}{2} \rceil\)。

注意

两遍 DFS 的做法也有一个缺点，就是不能有负边权。

hack数据：

5
1 2 5
2 4 -10
4 5 20
1 3 4

正确答案：

19

实际输出：

20

树形DP求解

1. 树的中心的最长链和次长链对应的端点就是树的直径的两端。

2. 维护点 \(i\) 的最长路 \(dis1_i\) 和 \(dis2_i\)，取 \(\max(dis1_i + dis_2_i)\) 即树的直径。

3. 除了共点 \(i\)，两条路径没有交点，树的中心要进行枚举。

4. 可以处理负边权。

The End.