[洛谷P3228] [HNOI2013]数列

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题目描述

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

输入输出格式

输入格式：

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面”输出格式“中对P的解释。输入保证20%的数据M,N,K,P<=20000，保证100%的数据\(M,K,P<=10^9\) ，\(N<=10^{18}\) 。

输出格式：

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

输入输出样例

输入样例#1：

7 3 2 997

输出样例#1：

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：

(个人感觉这题比较神奇,是一道组合的好题)

题解: 直接考虑这个数列是比较麻烦的,但是题目给出了股票价值增长的范围,也就是说,我们可以针对每天股票的值讨论.我们设\(a_i\)表示第\(i\)天与第\(i+1\)天的价值变化,则任意\(a_i\)满足\(a_i\in[1,m]\).

答案可以表示为\(\sum_{所有合法的a数列}(n-\sum_{i=1}^{k-1}a_i)\),也就是说对应某种增长情况的数列有\(n-\sum_{i=1}^{k-1}a_i\)个.并且,题目保证\(m(k-1)<n\),也就是说,$$ans=m^{{k-1}*(n-\sum_{i=1}}a_i)$$.
拆一下式子,则有$$ans=m^{k-1}*n-m\sum_{i=1}^{k-1}a_i$$
再又因为在全排列中所有数字的出现次数都是相同的,也就是说\(1\)~\(m\)这\(m\)个数字总共出现了\(m^{k-1}*(k-1)\)次(因为\(a\)数列的长度是\(k-1\)),平均每个数字出现\(m^{k-2}*(k-1)\)次.也就是我们可以将式子写成这样的形式:$$ans=m^{k-1}*n-m(k-1)\sum_{i=1}^mi$$.
式子后面半部分套等差数列求和公式:$$ans=m^{k-1}*n-m(k-1)\frac{m(m-1)}{2}$$.然后就可以快速幂直接求了.

这里有个坑点,就是\(n\)的值乘一个\(int\)范围的值可能会爆\(long \ long\),需要在输入之后就先取一次模.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int _int;
#define int long long

int n, m, k, mod;

int qpow(int x, int n){
	int res = 1;
	for(; n; x = x*x%mod, n >>= 1)
		if(n & 1) (res *= x) %= mod;
	return res;
}

_int main(){
	cin >> n >> k >> m >> mod; n %= mod;
	cout << (qpow(m, k-1)*n%mod-qpow(m, k-2)*((m*(m+1)/2ll)%mod)%mod*(k-1)%mod+mod)%mod << endl;
	return 0;
}