【杂题】[AGC034D] Manhattan Max Matching【费用流】

Description

有一个无限大的平面，有2N个位置上面有若干个球（可能重复），其中N个位置是红球，N个位置是蓝球，红球与蓝球的总数均为S。

给出2N个位置和上面的球数，现要将红球与蓝球完美匹配，匹配的权值是每一对匹配两个球的位置坐标的曼哈顿距离之和。
求最大权值。

N<=1000,每个位置上球数<=10，坐标非负且<=10^9

Solution

直接两两连边显然不行

但又不能对于每一个球单独计算贡献，因为绝对值的存在

考虑这样一个转化
|x1-x2|=max(x1-x2,x2-x1)
|x1-x2|+|y1-y2|=max(x1-x2+y1-y2,x2-x1+y1-y2,x1-x2+y2-y1,x2-x1+y2-y1)

我们额外建4个中转点表示上面的四种情况，红球和蓝球通过中转点连边，这样边数降到了O(N)

边权就按照上面四种情况的符号连，容量为1，跑最大费用最大流。
由于最大费用最大流的性质，保证了每个匹配都是最大的，因此恰好就是曼哈顿距离取了绝对值符号后的结果。

时间复杂度O(maxflow(N))

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
const int N=2115;
const int INF=1e7;
typedef long long LL;
using namespace std;
vector <int> ap[N];
int n,n1,st,ed,f[N][N];
LL ans,pr[N][N];
void link(int x,int y,int w,LL c)
{
	ap[x].push_back(y);
	f[x][y]=w,pr[x][y]=c;
	ap[y].push_back(x);
	f[y][x]=0,pr[y][x]=-c;
}
typedef vector<int>::iterator IT;
namespace Flow
{
	LL dis[N];
	bool bz[N];
	IT cur[N];
	int d[200*N];
	bool spfa()
	{
		memset(dis,107,sizeof(dis));
		memset(bz,0,sizeof(bz));
		dis[st]=0,bz[st]=1,d[1]=st;
		fo(i,1,n1) cur[i]=ap[i].begin();
		int l=0,r=1;
		while(l<r)
		{
			int k=d[++l];
			for(IT i=ap[k].begin();i!=ap[k].end();i++)	
			{
				int p=*i;
				if(f[k][p]&&dis[k]+pr[k][p]<dis[p]) 
				{
					dis[p]=dis[k]+pr[k][p];
					if(!bz[p]) bz[p]=1,d[++r]=p;
				}
			}
			bz[k]=0;
		}
		return (dis[ed]<=1e17);
	}
	int flow(int k,int s)
	{
		if(k==ed) return s;
		int sl=0,v;
		bz[k]=1;
		for(;cur[k]!=ap[k].end();cur[k]++)
		{
			int p=*cur[k];
			if(!bz[p]&&f[k][p]&&dis[p]==dis[k]+pr[k][p]) 
			{
				if(v=flow(p,min(s,f[k][p]))) 
				{
					sl+=v,s-=v;
					f[k][p]-=v,f[p][k]+=v;
					ans+=(LL)v*pr[k][p];
					if(!s) break;
				}
			}
		}
		bz[k]=0;
		return sl;
	}
}
using Flow::flow;
using Flow::spfa;
int main()
{	
	cin>>n;
	n1=2*n+6,st=2*n+5,ed=n1;
	fo(i,1,n) 
	{
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		link(st,i,z,0);
		link(i,2*n+1,z,x+y);
		link(i,2*n+2,z,x-y);
		link(i,2*n+3,z,-x+y);
		link(i,2*n+4,z,-x-y);
	}  
	fo(i,1,n) 
	{
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		link(i+n,ed,z,0);
		link(2*n+1,i+n,z,-x-y);
		link(2*n+2,i+n,z,-x+y);
		link(2*n+3,i+n,z,x-y);
		link(2*n+4,i+n,z,x+y);
	}
	ans=0;
	while(spfa()) 
		flow(st,INF);
	printf("%lld\n",-ans);
}