众所周知，高中课内物理需要解微分方程

众所周知，解微分方程作为一种常用的方法是每一个高中生都要掌握的，所以物理课上讲二阶微分方程一点问题都没有吧。

著名物理老师 zjz 曾经说过：微积分，很重要，我带大家推一遍。

所以他就带大家推了一遍。

课内物理中会有一个章节叫做机械振动，所以简谐振动自然也会讲，总所周知理想的弹簧振子简谐振动的特征是 \(\omega^2=\frac{k}{m}\)。

首先描述问题，在水平光滑平面上左侧有一个固定的弹簧劲度系数为 \(k\)(满足胡克定律)弹簧连接了一个质量为 \(m\) 的物块，现在将物块拉开一段距离后松手，他将做怎样的运动。

\[F=-kx=ma \]

\[kx+ma=0 \]

\[kx+m\ddot x=0 \]

这显然是一个简单的二阶微分方程，由于我们不会傅里叶级数，所以我们采用猜解的方式，思考 \(F''(x)\) 与 \(F(x)\) 有相同的结构，所以猜测应为 \(e^x\) 的形式，设 \(x=e^{\lambda t}\) 并带入得到：

\[ke^{\lambda t}+m\lambda^2e^{\lambda t}=0 \]

\[k+m\lambda^2=0 \]

\[\lambda^2=-\frac{k}{m} \]

好似，\(\lambda^2\) 是负数，但是，我们是学习过数学的人，直接启动 \(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta\)。所以我们猜测原函数可能是三角函数，重新设 \(x=A\cos(\omega t+\varphi)\)。

\[kA\cos(\omega t+\varphi)-m\omega^2A\cos(\omega t+\varphi)=0 \]

\[k-m\omega^2=0 \]

\[\omega^2=\frac{k}{m} \]

哦，证毕。感觉其实用旋转矢量法更加好理解，不过就是硬解。

（本来以为后面没东西了，但是又发现了一种比较高妙的做法来解微分方程，甚至不超高考考纲。

首先我们知道一个 \(n\) 次多项式可以用 \(n+1\) 个点的坐标来表示(即将 \(n+1\) 个系数解出来)，所以理论上来讲，对于任意一个函数，你将所有点带入方程中，就可以用多项式表示任何一个函数，例如对于 \(e^x\) 你就可以使用泰勒展开 \(f(x)=\sum \frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}\) 将他展开成 \(\sum \frac{x^i}{i!}\)

所以我们不妨设原函数为 \(F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\)，所以:

\[\ddot x=F''(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots \]

我们发现 \(a_0\) 和 \(a_1\) 项不见了，所以我们需要单独把他们算出来。初始时刻即 \(F(0)\) 应当等于 \(x_0\) 所以得出 \(a_0=x_0\)，初始瞬间速度应当为 0 所以 \(F'(0)=0\)，解出 \(a_1=0\)。

\[kx+m\ddot x=0 \]

\[\frac{k}{m}x+\ddot x=0 \]

我们继续推柿子，把 \(\ddot x\) 带到微分方程中得到：

\[\frac{k}{m}(a_0+a_1x+\cdots)+(2a_2+6a_3x+\cdots)=0 \]

我们设 \(\frac{k}{m}\) 为 \(\lambda\) 整理一下得到：

\[(x_0\lambda+2 a_2)+6a_3x+(a_2\lambda+12a_4 )x^2+\cdots=0 \]

我们要让这个东西等于零显然要让每一项都是零，所以我们得出 \(a_3=0\),进而我们发现 \(a_5=0\)(因为是二阶导所以他会差两位加在一起，所以前一个是零后一个也只能是零),这样我们就知道 \(a_{2i+1}=0\)，下面只需处理偶数项即可。

\[x_0\lambda +2a_2=0 \]

\[a_2=-\frac{x_0\lambda}{2} \]

\[-\frac{x_0\lambda^2}{2}+12a_4=0 \]

\[a_4=\frac{x_0\lambda^2}{24} \]

剩下的整理一下得到：

\[F(x)=x_0-\frac{x_0\lambda}{2!}x^2+\frac{x_0\lambda^2}{4!}x^4+\cdots \]

这个东西是否看起来有些眼熟？

\[\cos x=1-\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\cdots \]

\[F(x)=x_0\sum_{i|2}\frac{\sqrt{\lambda}^ix^i}{i!} \]

\[F(x)=x_0\cos(\sqrt{\lambda}x) \]

\[F(x)=x_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}x) \]

这就是我们所熟知的了。但是这里其实是默认以最大距离为零时刻，所以对于不是零时刻只需要加上初相位 \(\varphi\) 即可。