PR#15 C.黑白球染色（QOJ#9438）（草稿）

对于 \(\leq a_i\) 的部分可黑可白，\(>a_i\) 的部分必定是白。所以有一个显然的处理：将 \(a_i\) 变为 \(m-a_i\)，转化成 \(\leq a_i\) 的部分有限制然后来处理。

考虑一个位置在两个不同回合被限制（\(\leq a_i\)），中间就是要选中其偶数次。

考虑由下往上扫描，将下面的结果合并。假设 \([x^i]f(x)\) 表示这个区间在本次扫描的 \(a\) 及以下总共还有 \(i\) 个位置的方案数。

考虑对于每个未选中的位置都有可能被选择，需要选中偶数个位置。我们先把空位上传（即把下方的多项式乘起来），然后再选择位置。

考虑如何表述位置选择偶数个呢？显然我们想表述的是 \(x^i \mapsto x^i\sum_{r \geq 0}\binom{i}{2r}x^{-2r}\)。使用经典的 \(-1\) 技巧处理奇偶位置：

\[\sum_{r \geq 0}\binom{i}{2r}x^{-2r}=\sum_{r \equiv 0 \pmod{2}}\binom{i}{r}x^{-r}\\\ =\frac{1}{2}((1+1)\sum_{r \equiv 0 \pmod{2}}\binom{i}{r}x^{-r}+(1-1)\sum_{r \equiv 1 \pmod{2}}\binom{i}{r}x^{-r})\\\ =\frac{1}{2}(\sum_{r \geq 0}\binom{i}{r}x^{-r}+\sum_{r \geq 0}\binom{i}{r}(-1)^{r}x^{-r})\\\ =\frac{(1+x^{-1})^i+(1-x^{-1})^{i}}{2}\\\ \]

于是这就是 \(x_i \mapsto \frac{(x+1)^i+(x-1)^{i}}{2}\)。于是整个变换也就是 \(f(x) \mapsto \frac{f(x+1)+f(x-1)}{2}\)。

有一点特殊的：若区间右端为 \(n\)，则变换应该是 \(x^i \mapsto (x+1)^i\)，即 \(f(x) \mapsto f(x+1)\)。

显然我们可以维护多项式的点值表示，最后要求的就是 \(f(0)\)。