变换（旋转、缩放、平移）

1、为什么要学习变换矩阵

  • 模型的缩放、旋转、位移都可以通过变换矩阵实现
  • 投影：将3D的世界转换为2D的图片

2、二维变换

Scale 缩放

Rotate 旋转

  • 默认绕原点(0,0) 逆时针方向旋转

  • 思路：旋转不改变长度大小，从特殊点推导旋转矩阵

Shear 裁切

  • 把物体一边固定，然后拉另外一边

3、齐次坐标

为什么

  • 位移变换无法用线性变换表示 （可以理解为无法用一个矩阵表示变换）

  • 无法用两个矩阵乘积的形式表示平移变换

是什么

  • 其实就是引入一个w坐标

    • w = 1 表示这是一个点 （w≠0都认为是点）
    • w = 0 表示这是一个向量

  • 注意代入齐次坐标之后向量与点之间的运算以及结果

  • 现在位移变换也可以表示位矩阵乘积的形式了

    • 如果对一个向量进行位移变换时向量的值不会变(w=0)，这是符合事实的

Affifine map 仿射变换

  • 线性变换 + 平移变换

引入齐次坐标后的二维变换

复合变换

  • 对模型的一系列变换的组合可以用一个变换矩阵表示
  • 矩阵的乘法不满足交换律，不同的顺序得到的结果是不一样的
  • 复合变换约定顺序
    • 缩放 —> 旋转 —> 平移

4、三维变换

  • 3D point = (x, y, z,1)T
  • 3D vector = (x, y, z,0)T

旋转

  • 三维的旋转比较特殊，总结起来就是

  • 绕谁谁不变，y轴旋转最特殊

4.1 欧拉角

为什么

  • 实际中有物体可能不绕xyz轴旋转，而是绕任意轴旋转

是什么

  • 可以把一个旋转拆分成绕xyz轴的旋转，这三个角度被称为欧拉角

  • 优点是表达和公式很直观

  • 缺点：

    • 不可传递，旋转顺序影响旋转结果
    • 万向节死锁

4.2 万向节死锁

转动的术语

  • 沿着机身右方轴进行旋转 Pitch 俯仰
  • 沿着机头上方轴进行旋转 Yaw 偏航
  • 沿着机头前方轴进行旋转 Roll 桶滚

出现死锁

  • 按照欧拉角的定义，需要有三个自由度来表示旋转

  • 出现死锁的情况

    • 红色连接头：可以给予一个相对俯仰的自由度
    • 绿色连接头：可以给予一个相对偏航的自由度
    • 蓝色连接头：可以给予一个相对偏航的自由度

  • 这里桶滚自由度丢失了，只有两个自由度，无法表示需要三个自由度的旋转，产生了死锁

解决方法

  • 使用绕任意轴旋转的方式表达旋转
    • 轴角和罗德里格斯公式
    • 四元数

4.3 轴角和罗德里格斯公式

轴角

用两个值参数化旋转：轴和绕这个轴旋转的角度。{x,y,z, Ѳ }

\[v' = R*v \]

罗德里格斯公式

  • 绕一个轴n旋转α角度的旋转矩阵

  • 证明思路

    • 设向量S绕a轴旋转θ角度，求向量S^ROT
      1. 将向量S通过点积投影的方式分解为平行和垂直于a轴的分量
        • 平行分量在旋转后不变
      2. 求出旋转后S^ROT的垂直分量即可

4.4 四元数

为什么

  • 解决欧拉角表示旋转的死锁问题
  • 轴角虽然能解决死锁问题，但是不能进行简单的插值

是什么

  • 包含一个标量和一个三维向量分量 (节省内存，只要4个浮点数就可以表示一个旋转)

    Q=[w,(x,y,z)]^T

  • 绕旋转轴n旋转α的旋转，用四元数表示为

    • 余弦值的角度为旋转轴的x,y,z分量

使用四元数表示旋转

  • 给定矢量V和旋转的单位四元数q
  • 旋转后的矢量V^ROT = q . V . q^-1

转换

  • 欧拉角转四元数

  • 四元数转欧拉角

插值

  • 从A旋转到B中间的插值

旋转表示方式问题总结

  • 矩阵：内存消耗大，插值问题
  • 欧拉角：万向节死锁问题，不可传递(顺序决定结果)
  • 轴-角：插值问题，不能直接作用于点和矢量，还是要转换为四元素或者矩阵
  • 四元数：插值平滑，可以快速和矩阵形式转换，节省内存
posted @ 2020-09-02 23:10  Awaiting  阅读(2072)  评论(0)    收藏  举报