玄学小记.3 ~ 卡特兰数

最近学了（假的）生成函数技巧

推抄一发卡特兰数的封闭形式

首先得有个递归式，这里用从多边形三角剖分中得到的那个：

$$a_0 = 1$$

$$a_n = \sum_{k = 0}^{n - 1}a_k a_{n - 1 - k}$$

令\(A = \sum{i = 0} ^{\infty} a_i x^i \)

那么递归关系可以写成：

$$a_n x^n = x \sum_{k = 0}^{n - 1} a_k x^k * a_{n - 1 - k}x ^ {n - k - 1} $$

两侧同时对\(n\)求和

$$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n x^n = x \sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{k = 0}^{n - 1} a_k x^k * a_{n - 1 - k}x ^ {n - k - 1} $$

左侧离\(A\)还差了\(a_0\)这一项，把它加上，而右侧是一个卷积形式，可以直接写出，于是就有：

$$A = x * A * A + 1$$

于是可以解出\(A = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4x}}{2x}\)

这样的话只需要求出\(\sqrt{1 - 4x}\)

$$\sqrt{1 - 4x} = (1 - 4x)^{\frac{1}{2}}$$

用广义二项式定理展开

$$(1 - 4x)^{\frac{1}{2}} =\sum_{i = 0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{i} (-4x)^{i}$$

若直接展开组合数，在\(i = 0,1\)处会出偏差，于是把它提出来再展开组合数

$$=1 - 2x + \sum_{i = 2}^{\infty} (-4x)^{i} \prod_{j = 1} ^ {i} \frac{\frac{1}{2} - j + 1}{j}$$

$$=1 - 2x + \sum_{i = 2}^{\infty}(2x)^{i} \prod_{j = 1} ^ {i} \frac{2j - 3}{j} $$

$$=1 - 2x - \sum_{i = 2}^{\infty}(2x)^{i} * \frac{1}{i} \prod_{j = 1} ^ {i - 1} \frac{2j - 1}{j} $$ 

把最后的东西补成阶乘

$$=1 - 2x - \sum_{i = 2}^{\infty}(2x)^{i} * \frac{1}{i} \prod_{j = 1} ^ {i - 1} \frac{(2j - 1) * 2j}{j * 2j}$$

$$=1 - 2x - \sum_{i = 2}^{\infty}\frac{2x^{i}}{ix^{i - 1}} * \frac{(2i - 2)!}{(i - 1)!(i - 1)!}$$

最后面就是一个组合数～

$$=1 - 2x - \sum_{i = 2}^{\infty}\frac{2x^i}{i}\binom{2i - 2}{i - 1}$$

\(-2x\)这一项可以塞进求和里，塞进去

$$=1 - \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{2x^i}{i}\binom{2i - 2}{i - 1}$$

那么就有：

$$\sqrt{1 - 4x} =1 - \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{2x^i}{i}\binom{2i - 2}{i - 1}$$

开根号时要保证分子能被\(2x\)整除，于是选择负号

带入得到

$$A = \frac{\sum_{i = 1}^{\infty}\frac{2x^i}{i}\binom{2i - 2}{i - 1}}{2x}$$

化简得到

$$A = \sum_{i = 0}^{\infty}\frac{\binom{2i}{i}}{i + 1}x^i$$

于是就有\(a_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1}\)啦

似乎推完了（捂脸