高等数学常见曲线及其定积分的应用

星形线

• 直角坐标 $ x^{2\over3} + y^{2\over3} = a^{2\over3} (a>0) $
• 参数方程

\[\begin{cases} x = acos^3t \\ y = asin^3t \end{cases} (a>0) \]

• 图形

• 计算：

  • 它与坐标轴所围图形 D 的面积 A；
    • A = \(4·\int_0^a ydx = 12a^2 \int_0^{\pi\over2} sin^4tcos^2t dt = {3\over8} \pi a^2\)
  • 它的全长 L；
    • L = \(4·\int_0^{\pi\over2} \sqrt{y^{'2}(t) + x^{'2}(t)} dt = 12a \int_0^{\pi\over2} sintcost dt = 6a\)
  • D 绕 x 轴旋转而成的旋转体的表面积 S；
    • S = \(2·2\pi \int_0^{\pi\over2} y(t) \sqrt{y^{'2}(t) + x^{'2}(t)} dt = 12 \pi a^2 \int_0^{\pi\over2} sin^4tcostdt = {12\over5} \pi a^2\)
  • D 绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V。(其中 \(D_I\) 表示 \(D\) 在第一象限的部分)
    • V = \(2·2\pi\iint_{D_I} yd\sigma = 2\pi \int_0^a y^2(x) dx = 6\pi a^3 \int_0^{\pi\over2} sin^7tcos^2tdt = {32\over105} \pi a^3\)

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心形线

• 直角坐标 $ x^2 + y^2 - ax = a \sqrt{x^2 + y^2} (a>0) $

• 极坐标 $ r=a(1+cosθ) (a>0) $

• 图形

• 计算：

  • 它与坐标轴所围图形 D 的面积 A；
    • A = \(2·{1\over2} \int_0^\pi r^2(θ) dθ = \int_0^\pi [a(1+cosθ)]^2 dθ = {3\over2} \pi a^2\)
  • 它的全长 L；
    • L = \(2·\int_0^\pi \sqrt{r^2(θ) + r^{'2}(θ)} dθ = 2·\int_0^\pi \sqrt{[a(1+cosθ)]^2 + (-asinθ)^2} dθ = 8a\)
  • D 绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V。(其中 \(D_+\) 表示 \(D\) 在第一、二象限的部分)
    • V = $2\pi\iint_{D_+} yd\sigma = 2\pi \int_0^\pi dθ \int_0^{a(1+cosθ)} rsinθ·rdr = $ \(-{2\over3} \pi a^3 \int_0^\pi (1+cosθ)^3 d(1+cosθ) = {8\over3} \pi a^3\)

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