P3960 [NOIP2017 提高组] 列队 题解
题目链接：列队
这题的正解真技巧性，平衡树和线段树做法不再赘述，主要来讲讲这个离线的树状数组倍增是怎么玩的，感觉很妙蛙种子。
简单回顾
回顾几个简单知识点：
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权值树状数组如何找第 \(k\) 大，直接树状数组上倍增找到 \(\sum cnt \le k-1\) 的最大值，而这个 \(\sum cnt +1 \le k\) 即为比答案 \(kth\) 小的数 \(0 \sim kth-1\) 的数量，所以我们倍增出来的最大 \(ans\) 即为 \(kth-1\)，自然可以求出 \(kth=ans+1\)。
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关于一个只在末尾添加数的序列，我们可以考虑使用动态数组，列表之类的支持插入与随机查找。
对于题目的一次修改我们观察有何变化：
如图所示，红色即为移除的 \((x,y)\)，如果它不位于最后一列：
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蓝色一行删除红色，并且整体左移一格。并且此时紫色与蓝色交叉部分的元素变为了蓝色部分的末尾。
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紫色代表最后一列，最后一列移除蓝色一行对应的元素，并且往上移动一格，并加入移除的红色元素。
好了，看到这容易猪脑过载，不知道如何处理，我们考虑到最后一列是比较特殊的，如果该删除的元素位于最后一列，操作变化会少一部分，我们考虑分区讨论操作变化。
我们将原题分为 \(n\) 行区 和 第 \(m\) 列区，这个时候再去讨论变化就会发现容易得多了。分为 \(n\) 行区，我们注意到每行涉及到增加与删除操作：
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在末尾增加一个元素。
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删除从左往右数的第 \(y\) 大的元素。
第一个问题，我们可以使用 \(vector\) 快速实现。第二个问题就较为复杂了，我们考虑把一行单独拿出来讨论有：
其实容易发现，每一行的操作都是独立的，互不影响，而且，最开始的序列也是有规律的，其实就为 \((row-1) \times m+col\)：
而上述红色部分，为末尾添加的新元素。我们这样做处理：
考虑使用树状数组维护每个位置是否有值，即将位置作为权值，因为至多有 \(q\) 次操作，那么对于某一行来说，至多有 \(q\) 个元素加入，考虑 \(m+q\) 个位置，假设一开始都有数，考虑查找和删除的影响：
查找第 \(k\) 大：
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如果第 \(k\) 大的位置 \(<m\)，显然这个位置属于原序列等差数列里的位置，可以直接套公式求出来。
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如果第 \(k\) 大的位置 \(\ge m\)，显然这个位置属于末尾 \(vetor\) 维护的新序列的某个位置 \(=第\ kth-m\ 个位置\)。
删除第 \(k\) 大：
直接树状数组上去掉。其实我们就是将原序列和新序列拼成了 \(n+q\) 的极长序列，这个序列每个位置是否有值用树状数组维护，每次查找的还是第 \(y\) 大的元素。本质还是维护一个序列，只是这个序列比较特别。
本题空间复杂度的真正核心：
对于一个正常的序列，我们可以直接用数组维护，这样可以直接查找，但由于题目的数的数量过多，不能够完全插入，所以我们前半部分有特点的序列我们选择使用公式直接算，从而只维护后半部分新增的序列，这样至多总增加 \(q\) 个数，对于空间复杂度来说就完全正确了。所以也就有了这个巧妙地维护序列方法，本质还是维护一个序列，并无差别。
那么行问题其实就解决了，关于列问题其实也是一致的，其实本题难点就在于空间复杂度的优化，列也用一个树状数组维护，但显然：
每行和列都开一个树状数组空间过大，注意到我们每个问题都是独立的，所以直接离线处理用一个树状数组挨个处理就行了，当然要保证修改和查询时间正确，按行预处理出每个答案的序列位置。最后其实只需要分讨查询正确修改就行，可以观看代码及其注释再行理解。其实本题难点在于维护的这个特殊序列，它的前后部分维护为了空间复杂度进行了优化，否则全部插入数组直接查找完全正确的。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
#define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-')sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char))return;
if (x < 0)x = -x, putchar('-');
if (x > 9)write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow)return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3() { one = tow = three = 0; }
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y)x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y)x = y;
}
constexpr int N = 6e5 + 10;
int bit[N];
ll n, m, q, mx;
inline void add(int x, const int val)
{
for (; x <= mx; x += lowBit(x))bit[x] += val;
}
//倍增找第k大位置
inline int kth(const int k)
{
int ans = 0, sum = 0;
for (int i = 20; ~i; i--)
{
const int nxt = ans + (1 << i);
if (nxt > mx)continue;
if (sum + bit[nxt] < k)ans = nxt, sum += bit[nxt];
}
return ans + 1;
}
struct Query
{
int x, y, id;
bool operator<(const Query& other) const
{
return id < other.id; //按时间戳排序
}
};
vector<Query> first[N]; //第一次处理1~m-1
Query qu[N]; //所有查询
ll ansIdx[N]; //对于这个特殊序列的答案位置,前半部分为原等差序列,后半部分为vector
vector<ll> row[N], col; //每行和最后一列开一个vector维护后半部分的增加
inline void solve()
{
cin >> n >> m >> q, mx = max(n, m) + q;
forn(i, 1, q)
{
auto& [x,y,id] = qu[i];
cin >> x >> y, id = i;
if (y != m)first[x].push_back(qu[i]); //关于行的影响与查询
}
forn(i, 1, mx)add(i, 1);
forn(i, 1, n)
{
vector<int> back;
sort(all(first[i])); //按时间戳排序
for (const auto [x,y,id] : first[i])
{
const int pos = kth(y);
ansIdx[id] = pos; //答案在这个特殊序列的位置
add(pos, -1), back.push_back(pos); //去掉这个数
}
for (const auto x : back)add(x, 1); //每行结束恢复树状数组
}
forn(i, 1, q)
{
auto [x,y,id] = qu[i];
ll ans;
const ll pos = kth(x); //这个特殊位置的第x个位置
//前n行位置为原位置
ll last = pos <= n ? pos * m : col[pos - n - 1]; //对应的蓝色与紫色交集,即当前行最后一个数
if (y != m)
{
row[x].push_back(last); //当前行维护的为1~m-1个数,第m个数加入
//前m-1个数(列)为原序列数
ans = ansIdx[id] <= m - 1 ? (x - 1) * m + ansIdx[id] : row[x][ansIdx[id] - m];
}
else ans = last; //第y列为最后一列,所以恰好last即为(x,y)位置的数
col.push_back(ans); //最后一列插入红色块
add(pos, -1); //移除元素
cout << ans << endl;
}
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
int test = 1;
// read(test);
// cin >> test;
forn(i, 1, test)solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}
