[WikiOI "天梯"1281] Xn数列

题目描述Description

给你6个数，m, a, c, x0, n, g

X_n+1 = ( aX_n + c ) mod m，求Xn

m, a, c, x0, n, g<=10^18

输入描述Input Description

一行六个数 m, a, c, x0, n, g

输出描述Output Description

输出一个数 X_n mod g

样例输入Sample Input

11 8 7 1 5 3

样例输出Sample Output

2

数据范围及提示Data Size & Hint

int64按位相乘可以不要用高精度。

题目分析
        典型的矩阵快速幂问题。由递推式 X_n+1 = ( aX_n + c ) mod m 可以构造出矩阵方程：

                                   

       那么题目所求就可转化为一个1*2矩阵与n个二阶方阵的矩阵链乘。根据矩阵乘法的结合律，可得出：

                                  
    即可转化为矩阵快速幂问题。其中的乘法运算已改为了倍增取模乘法。

 

 1 //WikiOI 1281 Xn数列
 2 #include <iostream>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 LL m, a, c, x0, n, MOD;
 6 LL mlti(LL a, LL b) //倍增取模乘法
 7 {
 8     a %= m;
 9     LL ans = 0;
10     while(b)
11     {
12         if(b & 1)ans = (ans + a)% m;
13         a = (a << 1)% m;
14         b >>= 1;
15     }
16     return ans;
17 }
18 struct Matrix2
19 {
20     LL val[2][2];
21     Matrix2(LL k1,LL k2,LL k3,LL k4)
22     {
23         val[0][0] = k1; val[0][1] = k2; val[1][0] = k3; val[1][1] = k4;
24     }
25     void Mlti(Matrix2 &m) //矩阵乘法
26     {
27         LL v1 = mlti(val[0][0],m.val[0][0])+mlti(val[0][1],m.val[1][0]);
28         LL v2 = mlti(val[0][0],m.val[0][1])+mlti(val[0][1],m.val[1][1]);
29         LL v3 = mlti(val[1][0],m.val[0][0])+mlti(val[1][1],m.val[1][0]);
30         LL v4 = mlti(val[1][0],m.val[0][1])+mlti(val[1][1],m.val[1][1]);
31         val[0][0] = v1,val[0][1] = v2,val[1][0] = v3,val[1][1] = v4;
32     }
33 };
34 
35 int main()
36 {
37     ios::sync_with_stdio(0); //感谢陈思学长!
38     cin >>m >>a >>c >>x0 >>n >>MOD;
39     Matrix2 M(a, 0, 1, 1);
40     Matrix2 ans = M;
41     n -= 1;
42     while(n)
43     {
44         if(n & 1) ans.Mlti(M);
45         M.Mlti(M);
46         n >>=1;
47     }
48     cout << ((mlti(x0, ans.val[0][0])+mlti(c, ans.val[1][0]))%m)%MOD;
49     return 0;
50 }