【高数复习笔记】计算不定积分的一些方法

【高数复习笔记】计算不定积分的一些方法

快期末了，题做厌了就随手写点东西-_-然后摆烂~~

凑微分

​ 凑微分要求对一些常见函数的原函数十分熟悉，而且还要熟悉微分的运算法则。除了天天能见到的一些函数，对某些函数的原函数也要能够了解并熟悉，比如计算下面这个不定积分：

\[\int \sqrt{\frac{\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2} } )} }{1+x^{2} } } \mathrm{d}x \]

​ 我一开始见到这个形式，看到ln()里这么复杂的式子，一眼换元，但换元又不太像能做的样子，然后直接分部也不行，被积函数过于复杂，运算难度太高，于是就被卡住了......后来我又看到了分子，就是这个

\[\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2} }}) \]

​ 我知道它的导数是这样的：

\[\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}} } \]

​ 这不就是分母的形式吗，于是我们可以对原式进行凑微分变成如下形式：

\[\int \sqrt{{\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2} } )} } } \mathrm{d[\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2} } )}]} \]

​ 对 \(\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2} } )}\)进行换元，令 \(t=\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2} } )}\)，我们就只需要计算 \(\int \sqrt{{t } } \mathrm{dt}\) 即可。后面略，结果可以自行使用WolframAlpha进行计算，网址：https://www.wolframalpha.com/

倒代换

​ 倒代换常用于分子没啥东西只有一个dx或是次数比分母差很多的情况，因为dx旁边没什么东西，自然也就很难进行凑微分等操作，下面我就小举两个例子。

​ 计算下面两个不定积分：

\[(1)\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1} } \mathrm{dx}\\(x>1) \]

\[(2)\int \frac{1}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2} }} \mathrm{dx} \]

​ 对于(1)，我们令\(t=\frac{1}{x}\)，于是\(d{x}=d{\frac{1}{t}}=-\frac{1}{t^{2}}d{t}\)，代入进去并化简，我们只需要计算下面的积分即可：

\[-\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{dt} \]

​ 相信大家都能看出来这是 -arcsint 的导数吧^_

​ 再看(2)，同样的，我们令\(t=\frac{1}{x}\)，于是\(d{x}=d{\frac{1}{t}}=-\frac{1}{t^{2}}d{t}\)，代进去整理，原式即为：

\[-\int \frac{t}{(1+t^{2})^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dt} \]

​ 我们发现分子可以进行凑微分，于是继续化简上式：

\[-\int \frac{\frac{1}{2}\mathrm{d{(1+t^{2})}}}{(1+t^{2})^{\frac{3}{2}}} \]

​ 再次进行换元，令\(u=1+t^{2}\)，代入，上式便可以简化成\(-\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d{u}}}{u^{\frac{3}{2}}}\)，下面就太简单了，直接省略，结果就自行去上面给的WolframAlpha网站验证吧^_

​ 当然，上面两题可以使用三角换元进行计算，比较经典我也就不细嗦了。

一个三角齐次式(凑微分+待定系数)

​ 废话不多说，直接上式子：

\[\int \frac{a_1cosx+b_1sinx}{a_2cosx+b_2sinx} \mathrm{dx} \]

​ 我们知道，三角函数的导数很特别，比如sin求导变成cos，cos求导变成-sin......于是我们就可以把分子这么考虑，一部分是分母的m倍，另一部分是n倍分母的导数，写起来就是这样：

\[a_1cosx+b_1sinx=m(a_2cosx+b_2sinx)+n[(a_2cosx+b_2sinx)']······(*) \]

​ 把它带到原式，得到下面的式子：

\[\int \frac{m(a_2cosx+b_2sinx)+n(a_2cosx+b_2sinx)'}{a_2cosx+b_2sinx} \mathrm{dx} \]

​ 分子把m和n中间的加号拆掉，得：

\[\begin{aligned} \int \frac{m(a_2cosx+b_2sinx)+n(a_2cosx+b_2sinx)'}{a_2cosx+b_2sinx} \mathrm{dx} &=\int \frac{m(a_2cosx+b_2sinx)}{a_2cosx+b_2sinx} \mathrm{dx}+\int \frac{n(a_2cosx+b_2sinx)'}{a_2cosx+b_2sinx} \mathrm{dx}\\ &=\int m \mathrm{dx} + \int \frac{n\mathrm{d(a_2cosx+b_2sinx)}}{a_2cosx+b_2sinx} \end{aligned} \]

​ 后面再令\(t=a_2cosx+b_2sinx\)换元，并用待定系数解出m，n即可。

​ 写到这，读者应该都发现了(*)式变换的意义，其实本质就是待定系数+凑微分，这算是一种很有趣的解法了。

​ 当然，这还有很多的解法，比如用tan代换，就不一一细嗦了。

裂项的应用

​ 不多说先上题，计算下面的不定积分：

\[\int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)} \mathrm{dx} \]

​ 显然，我们看到了\(arctanx\)和\(\frac{1}{1+x^2}\)同时出现，必然会想到凑微分。但如果我们直接对其进行凑微分，发现后面会很难进行下去。这是我们再看分母，发现是典型的能够裂项的形式：

\[\frac{1}{x^2(1+x^2)}= \frac{1+x^2-x^2}{x^2(1+x^2)} =\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}······(*) \]

​ 于是我们把上式运用到不定积分中，运用不定积分的线性性质与凑微分得到：

\[\begin{aligned} \int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)} \mathrm{dx} &=\int \frac{arctanx}{x^2} \mathrm{dx} - \int \frac{arctanx}{1+x^2} \mathrm{dx} \\\\ &=-\int arctanx \mathrm{d{\frac{1}{x}}} - \int arctanx \mathrm{d(arctanx)} \\\\ &=-\frac{arctanx}{x} + \int \frac{\mathrm{dx}}{x(1+x^2)} - \frac{1}{2}(arctanx)^2 \\\\ &=-\frac{arctanx}{x} - \frac{1}{2}(arctanx)^2 + \int \frac{1+x^2-x^2}{x(1+x^2)} \mathrm{dx}····(**) \\\\ &=-\frac{arctanx}{x} - \frac{1}{2}(arctanx)^2 + lnx - \int \frac{x\mathrm{dx}}{1+x^2} \\\\ &=-\frac{arctanx}{x} - \frac{1}{2}(arctanx)^2 + lnx - \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d{(1+x^2)}}}{1+x^2} \\\\ &=-\frac{arctanx}{x} - \frac{1}{2}(arctanx)^2 + lnx - \frac{1}{2}ln(1+x^2)+C \end{aligned} \]

​ 看上去蛮复杂的，其实一步步化下来也就那样，只要计算不出错就行啦^_

​ 通过上面我们可以发现，在(*)与(**)两步变换均使用了裂项的思想，说白了裂项也就是把分子常数项写成分母各个因式线性运算的形式，然后拆开即完成了裂项。

第一次用LateX写公式，不是很熟练:-)

\[ \]