校内讲题

木桶效应

感觉这个 trick 还是很 edu 的。

将 \(\prod_{i=1}^n\min_{j=1}^mp_{j,i}\) 转化为 \(\sum_p\sum_{x_1,x_2,\cdots,x_n}[x_i\le \min_{j=1}^mp_{j,i},\forall 1\le i\le n]\)，对 \((x,p)\) 计数。

考虑全部为空的方案数，从大到小填 \(x\)，设 \(f_{i,j}\) 表示 \(x_p > i\) 的位置有 \(j\) 个的方案数，每次填 \(x\) 的同时填上 \(p\) 对应列上的数。那么转移到 \(f_{i-1,k}\) 就从 \(k\) 个位置里面先选出 \(j\) 个填 \(x > i\)，再对于 \(m\) 个排列，每个排列中原本 \(n-i-j\) 个数加上 \(i\) 这个数，然后选 \(k-j\) 个数依次填进排列中，即：

\[f_{i-1,k}\gets f_{i,j}\dbinom{k}{j}\left(\frac{(n-i-j+1)!}{(n-i-k+1)!}\right)^m \]

然后考虑有一些位置有限制的方案数。把有限制的 \(O(q)\) 个行和列拿出来考虑。具体地，我们令 \(f_{i,j,S}\) 表示 \(x_p>i\) 的在空的列中填了 \(j\) 个，在非空的列中填的状态为 \(S\) 的方案数。

对于空行，填入的方案数为 \(\frac{(n-i-j-|S|+1)!}{(n-i-k-|T|+1)!}\)；对于非空行，处理出 \(g_{i,j,S}\) 表示第 \(i\) 个非空行，\(\ge j\) 的数中有多少个不在 \(S\) 中包含的位置，填入的方案数为 \(\frac{(n-i-j-|S|-g_{t,i,S}+1)!}{(n-i-k-|T|-g_{t,i,T}+1)!}\)。即：

\[f_{i-1,k,T}\gets f_{i,j,S}\dbinom{k}{j}\left(\frac{(n-i-j-|S|+1)!}{(n-i-k-|T|+1)!}\right)^{m-c}\prod_{t=1}^c\frac{(n-i-j-|S|-g_{t,i,S}+1)!}{(n-i-k-|T|-g_{t,i,T}+1)!} \]

直接做是 \(O(n^33^q)\) 的，可以分离一下系数，然后 FWT 做到 \(O(n^32^qq)\)。

Sheriruth

一个连通块如果连不了边，那么一定形如 一棵内向树 或者 一棵内向基环树。前者只需要判断祖先关系，后者需要讨论是否在环上。

否则考虑一个点 \(u\) 如果有多条出边 \((u,v_1),(u,v_2),\cdots,(u,v_m)\)，那么 \(v_1,v_2,\cdots,v_m\) 会互相连边形成一个团（无向完全子图），并且此时 \(v_i\) 能到的所有点也会被合并到这个团中。

于是最后连通块一定形如一个团和若干棵内向树，其中每棵内向树的根连向团中的某些点。大小为 \(s\) 的团上相异两点 \(u,v\) 的路径条数为 \(\sum_i(s-2)^{\underline i}\)，于是直接做就行了。注意特判如果 \(u\) 直接走到团上的 \(v\) 的情况。

Broken Device

考虑相邻两位一组，用三进制表示 \(X\)，每组有损坏/0/1/2 四种情况。那么损坏对应 \(00\)，\(0,1,2\) 对应 \(01,10,11\)。这样构造能取到的上界为 \(3^{150/2-40}\) 大概是 \(5\times 10^{16}\)。

然后把所有位随机打乱一下，这样的话损坏的组的期望就会减少，期望上界会到 \(10^{19}\)。具体打乱做法就是让 Anna 和 Bruno 共用一个随机种子，这样随机打乱的结果是相同的。

考虑把损坏的段也利用起来，如果有一段是 \(\mathtt{X\_}\)，那么可以填入 \(01\)；如果是 \(\mathtt{\_X}\)，可以填入 \(10\)。这样就能过了。

因为是随机打乱的，所以很难构造数据卡掉。

Message

参考了 u 群里面的做法，这个做法不用关心数据包被纂改的情况。

首先肯定不能传一个长度 \(S\) 的信息，因为如果 \(S=1024\) 的话你至少要 \(1024+31=66\times 16-1\) 个 bit 来传输消息和可能被纂改的位置的信息，这样你要在 \(1\) bit 之内传入长度，这太难了。

所以可以先把 \(S\) 末尾加上形如 \(0111\cdots\)，形成长度为 \(1025\) 的二进制串 \(S'\)，这样的话我们把 \(S'\) 还原出来然后把最后一个 \(0\) 以及后面的位全删掉就行了。

然后考虑如何使用 \(31\) 个 bit 来传输 \(31\) 位中哪些位是可能被纂改的。

我们把所有不会被纂改的位，也就是所有 \(C_i=0\) 的 \(i\) 拿出来，从小到大记为 \(p_0,p_1,\cdots,p_{15}\)。

注意到 \(16>\frac{1}{2}\cdot 31\)，所以可以构造一个唯一的最大值：具体地，如果我们将 \(p_i\) 向 \(p_{(i+1)\ \bmod\ 15}\) 连有向边，那么无论其余 \(\{0,1,\cdots,31\}\setminus \{p_0,p_1,\cdots,p_{15}\}\) 中任意一个位置如何连出一条边，这个图都会构成一个内向基环树。而 \(p_0,p_1,\cdots,p_{15}\) 为这个基环树的唯一最大环。

那么我们只需要考虑如何传输连边的信息：对于任意的 \(C_i=0\)，记录 \(d_i=(p_{(i+1)\ \bmod 15}-p_i) \bmod 31\)，我们在前 \(d_i-1\) 个数据包的第 \(i\) 位传 \(0\)，在第 \(d_i\) 个数据包的第 \(i\) 位传 \(1\)。然后接收的时候就只需要对每一位 \(i\) 算出第一个 \(1\) 的位置 \(d'_i\)，然后 \(i\) 向 \((i+d'_i)\bmod 31\) 连边就行了。这样的话 \(C_i=0\) 的位连的边一定是对的，\(C_i=1\) 的位连的边可以任意。找到最大环就找到了所有 \(C_i=0\) 的位。

然后我们把 \(S'\) 中 \(1025\) 个 bit 塞进所有 \(C_i=0\) 的位的剩余没用到的位置即可。