随笔分类 - 数论/数学-组合计数
摘要：论概率学在计数学方面的应用...... 壹、题目 传送门 贰、题解 这个模型转换十分巧妙，我甚至不知道这是什么想到的 。 由于题目并非在环上的，也就是说，每个位置的价值并不是一样的，我们考虑将它重新放在环上面，也就是收尾接起来，但是接起来时，我们设置一个 \(n+1\) 号节点，并把这个节点命名为失
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摘要：真就举觞白眼望青天了呗，什么都不知道...... 壹、题目 给出 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，要求分别选出 \(n\) 个正整数 \(b_i\) 和 \(d_i\)，并且要满足 \(b_i\mid a_i\)，且 \(d_i\mid b_i\)，求多少种选法满足 \(\prod_{i=1}
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摘要：只有 \(DP\) 不会，不会就是不会，怎么学都不会...... 壹、题目 有 \(n\) 堆石子，每堆石子的数量都在 \([1,2^m-1]\) 之间且互不相同。 给定 \(n,m\)，每堆石子数量任取，问有多少方案使得在 \(\tt nim\) 游戏下先手必胜。 贰、题解 考虑正难则反，在 \(
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摘要：题目 传送门 补一个数据范围： 测试点编号 $n\le $ 1 \(1\) 2 \(2\) 3 \(5\) 4 \(10\) 5 \(50\) 6 \(100\) 7 \(300\) 8 \(500\) 9 \(1000\) 10 \(3000\) 题解 必备芝士1 必备芝士2 我也不知道哪个才是真
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摘要：题目让你求 \[ \sum_{i=1}^n{n\choose i}i^k \] 这道题地重点其实是在于 \(i^k\) 可以怎么表示，先给出结论： \[ \newcommand{\string}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} i^k=\sum_{j=0}^k
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摘要：题目 传送门 题解 这道题在考场上还是卡了我一些时间 导致我 T3 没时间写了 首先，这道题很显然是让我们求一个式子： \[ \prod_{i=1}^n {c_i \choose x_i} \pmod p \] 如果 \(p\) 可以保证是一个素数，显然这道题是很好做的，只需要预处理阶乘及逆元即可.
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摘要：题目 传送门 题解 首先，最高的建筑是两边一定都看得到的，我们先考虑把它放在中间. 剩下的 \(n-1\) 个建筑如何放置？由于左边和右边是等价的，我们先只考虑左边的情况. 左边除开最高的建筑，我们还需要看到 \(f-1\) 个建筑，注意到这 \(f-1\) 个建筑可以不相邻，我们可以理解为这 \(
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摘要：题目 传送门 题解 考虑将 ( 理解为向右走，而 ) 理解为向左走，那么这道题就转化为： 指定走前几步，问此时能走到右上角且不经过对角线的方案数是多少. 这是卡特兰数的其中一个意义，我们可以利用分析卡特兰数递推式的相似的思路分析这个问题. 记我们还需填 \(a\) 个 ( 与 \(b\) 个 )，那
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摘要：题目 传送门 题解 每个数对答案的贡献单独考虑. 对于一个数 \(a_p\)，它的贡献只和它后面填的第一个加号的距离有关，当第一个加号的位置出现在离它的距离为 \(i\)，它的贡献就固定了，为 $10^i\times a_p$，而其他的加号可以在除了从 \(p\) 到 \(p+i\) 这一段的任意空
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摘要：题目 传送门 题解 错排，显然的容斥. 记我们要填入的数字有 \(s\) 个，其中可以任意填的数字有 \(q\) 个，现在对这个问题进行分析. 总方案数显然 \(s!\)，那么如何去重？ 考虑用错排的经典思路，减去至少不合法，加上两个不合法，减去三个不合法，加上四个不合法... 容斥式就可以得出 \
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摘要：题目 传送门 题解 给我们了柿子，我们也只能推柿子咯...... 考虑对原式进行如下变换 \[ \begin{aligned} F(n) &= \sum_{i=1}^n (i \times \sum_{j=i}^n C_j^i) \\ &= \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^j i\ti
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摘要：题目 传送门 题解 容斥好题. 由于行列问题相似，我们考虑先解决只有行的时候的答案. 记 \(\text{Ans}_1(i)\) 为有至少 \(i\) 行为黑色时的答案，那么我们考虑其容斥为“先选出 \(j\) 行染黑，其他行任意染色”，那么容斥式子就比较显然，有 \[ \text{Ans}_1(i
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摘要：题目 传送门 题解 这道题可以转化为一个模型，即在网格上求解不相交的路径数，解决这个问题的方法有一个经典的 \(\text{LGV}\) 引理，此题用到了引理的最简单的版本。 首先我们需要明白此题应该用总方案数减去相交路径的方案数，接下来要问的就是如何求解有多少路径相交。 我们假设左右分别有 \(A
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摘要：题目 传送门 题解 设原数组的第 \(i\) 位经过 \(j\) 次变换之后得到的数字为 \(f[i][j]\)，那么显然有 \[ f[i][j]=f[i-1][j]\oplus f[i][j-1] \] 考虑单独一个数对于最终的答案序列哪些位置有贡献： 对于数字 \(i\)，显然他在第一次变换之后
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摘要：题目 传送门 题解 本部分转载于 这位大佬 题中要求本质不同的序列数量，不太好搞。我们考虑给相同颜色的牌加上编号，这样所有牌都不相同。那么如果我们求出了答案，只需要将答案除以 \(\prod a_i!\) 就好了。 “恰好有 \(k\) 对”不能直接求，考虑容斥，如果我们求出了 \(g(x)\) 表
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