古代猪文[SDOI2010]

古代猪文[SDOI2010]

题目大意:求\(g^{ \sum_{k|n} C_n^k}mod\ 999911659\)

前置知识：

• 欧拉定理推论：

  内容:若正整数\(a,p\)互质，则对于任意正整数\(b\)，有\(a^b \equiv a^{b\ mod\ \phi(p)} mod\ p\)

  证明:

  \[设b=q\phi(p)+r,0 \le r\lt \phi(p),即r=b\ mod\ \phi(p) \\ a^b \equiv a^{q\phi(p)+r}\equiv(a^{\phi(p)})^q \times a^r \\ 由欧拉定理知:a^{\phi(p)} \equiv 1\ mod \ p\ \Rightarrow\ (a^{\phi(p)})^q \equiv 1^q \equiv 1\ mod \ p \\ 故a^b \equiv (a^{\phi(p)})^q \times a^r \equiv a^r \equiv a^{b\ mod\ \phi(p)}mod\ p \]

• \(Lucas\)定理

  内容:快速求组合数模质数,公式:\(C_n^m\ mod\ p=C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}} \times C_{n\ mod\ p}^{m \ mod\ p}\)

  int Lucas(int n,int m,int p)
  {
  	if(n<p&&m<p) return C(n,m);
  	return Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
  }
  

• 中国剩余定理(CRT)

  内容:已知\(n\)个非负整数\(a_1,a_2,...,a_n\)和\(n\)个互质的整数\(m_1,m_2,...,m_n\),且满足\(a_1\lt m_1,...,a_n \lt m_n\)，求一个整数\(x\)，满足:

  \[\begin{cases} x \equiv a_1\ mod\ m_1 \\ x \equiv a_2\ mod\ m_2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...\\ x \equiv a_n\ mod\ m_n \end{cases} \tag{1} \]

  求解方法:令\(M=\prod_{i = 1}^{n}m_i\)，\(M_i=\frac{M}{m_i}\)，且\(y_i\)为\(M_i\)模\(m_i\)意义下的逆元(\(M_iy_i \equiv 1\ mod\ m_i\))

  ​ 则\(x=(\sum_{i=1}^na_iy_iM_i)\ mod\ M=(\sum_{i=1}^na_iM_i^{\phi(m_i)})\ mod\ M\)

本题解法

由于\(999911659\)是质数，故\(\phi(999911659)=999911658\)

\(g^{ \sum_{k|n} C_n^k}mod\ 999911659 \Rightarrow\ g^{ \sum_{k|n} C_n^k} \equiv g^{ \sum_{k|n} C_n^k\ mod\ \phi(999911659)} \equiv g^{ \sum_{k|n} C_n^k\ mod\ 999911658}\ mod\ 999911659\)

于是只要计算\(\sum_{k|n} C_n^k\ mod\ 999911658\)即可，但由于\(999911658\)不是质数，不好用\(Lucas\)定理处理，怎么办呢?

注意到\(999911658=2\times 3\times 4679\times 35617\)，枚举\(k\)，对于固定的\(k\)，设\(m_1,m_2,m_3,m_4\) 分别为\(\sum_{k|n} C_n^k\)模 \(2，3，4679，35617\)之后的值，其中\(m_1,m_2,m_3,m_4\)可以用\(Lucas\)定理求。于是设 \(x=\sum_{k|n} C_n^k\ mod\ 999911658\)，则

\[\begin{cases} x \equiv m_1\ mod\ 2 \\ x \equiv m_2\ mod\ 3\\ x \equiv m_3\ mod\ 4679\\ x \equiv m_4\ mod\ 35617 \end{cases} \tag{1} \]

用\(CRT\)求\(x\)即可

,

#include <bits/stdc++.h>
#define lll __in128
#define ll long long 
#define pb push_back
#define endl '\n'
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
#define fi first
#define se second
#define ls tr[rt].l
#define rs tr[rt].r
using namespace std;
const int N = 1e5 + 6;
const ll mod= 999911658;
ll frac[N],b[4]={2,3,4679,35617},c[5],ans;
ll qmi(ll x,ll y,ll p)
{
    ll res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) res=res*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return res;
}

ll C(ll n,ll m,ll p)
{
     if(n<m) return 0;
     return frac[n]*qmi(frac[m],p-2,p)%p*qmi(frac[n-m],p-2,p)%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
	if(n<p&&m<p) return C(n,m,p);
	return Lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}
void CRT()
{
    for(int i=0;i<4;i++)
    ans=(ans+c[i]*(mod/b[i])%mod*qmi(mod/b[i],b[i]-2,b[i]))%mod;
}
int main()
{
    ll n,g;
    cin>>n>>g;
    frac[0]=1;
    if(g%(mod+1)==0) 
    {
        puts("0");
        return 0;
    }
    for(int j=0;j<4;j++)
    {
        for(int i=1;i<=b[j];i++)
        frac[i]=frac[i-1]*i%b[j];
        for(ll i=1;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
           c[j]=(c[j]+Lucas(n,i,b[j]))%b[j];
           if(i*i!=n) c[j]=(c[j]+Lucas(n,n/i,b[j]))%b[j];

        }
    }
    CRT();
    cout<<qmi(g,ans,mod+1)<<endl;
    return 0;
}