针对矩阵元素旋转的研究
1、旋转矩阵元素的操作
1.1、旋转矩阵元素操作的定义：
- 对\(n\)阶方阵\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)：
\[\vec{\alpha}_{n \times n} =
\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}& \cdots& A_{n}\\
A_{n + 1}& A_{n + 2}& \cdots& A_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& A_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& A_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
- 进行如下操作：
\[\begin{pmatrix}
A_{1}& \to& A_{2}& \to& \cdots& \to& A_{n - 1}& \to& A_{n}\\
\uparrow& &&&&&&& \downarrow\\
A_{n + 1}& & A_{n + 2}& \to& \cdots& \to& A_{2n - 1}&& A_{2n}\\
\uparrow& & \uparrow&& \updownarrow&& \downarrow&& \downarrow\\
\vdots&& \vdots&& \vdots&& \vdots&& \vdots\\
\uparrow& & \uparrow&& \updownarrow&& \downarrow&& \downarrow\\
A_{n \times (n - 2) + 1}& & A_{n \times (n - 2) + 2}& \gets& \cdots& \gets& A_{n \times(n - 1) - 1}&& A_{n \times (n - 1)}\\
\uparrow& &&&&&&& \downarrow\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& \gets& A_{n \times (n - 1) + 2}& \gets& \cdots& \gets& A_{n ^ 2 - 1}& \gets& A_{n ^ 2}\\
\end{pmatrix}
\]
- 得到新的\(n\)阶方阵\(\vec{\beta}_{n \times n}\)：
\[\vec{\beta}_{n \times n} =
\begin{pmatrix}
A_{n + 1}& A_{1}& \cdots& A_{n - 1}\\
A_{2n + 1}& A_{2n + 2}& \cdots& A_{n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 2}& A_{n \times (n - 1) + 3}& \cdots& A_{n \times (n - 1)}\\
\end{pmatrix}
\]
- 则称\(n\)阶方阵\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)经过一次单位旋转后得到\(n\)阶方阵\(\vec{\beta}_{n \times n}\)。
- 通俗定义：将方阵中所有元素按顺时针方向移动到下一个元素所在的位置的操作称为单位旋转矩阵操作，简称：单位旋操作，记作：\(E_{O}\)。
2、单位旋转矩阵
2.1、单位旋转矩阵定义
- 定义：方阵\(\vec{\alpha}_{n \times m}\)与方阵\(\vec{\tau}_{n \times n}\)经过某种矩阵运算后实现单位旋转矩阵操作，则称\(\vec{\tau}_{n \times n}\)为\(\vec{\alpha}_{n \times m}\)的单位旋转矩阵。
2.2、和单位旋转矩阵定义
- 对\(n\)阶方阵\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)：
\[\vec{\alpha}_{n \times n} =
\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}& \cdots& A_{n}\\
A_{n + 1}& A_{n + 2}& \cdots& A_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& A_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& A_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
- 若存在\(\vec{\tau}_{\pm(n \times n)}\)：
\[\vec{\tau}_{\pm(n \times n)} =
\begin{pmatrix}
T_{1}& T_{2}& \cdots& T_{n}\\
T_{n + 1}& T_{n + 2}& \cdots& T_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
T_{n \times (n - 1) + 1}& T_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& T_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
- 使得：
\[\vec{\alpha}_{n \times n} \pm \vec{\tau}_{\pm(n \times n)} = \vec{\beta}_{n \times n}
\]
\[\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}& \cdots& A_{n}\\
A_{n + 1}& A_{n + 2}& \cdots& A_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& A_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& A_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\pm
\begin{pmatrix}
T_{1}& T_{2}& \cdots& T_{n}\\
T_{n + 1}& T_{n + 2}& \cdots& T_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
T_{n \times (n - 1) + 1}& T_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& T_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
\[=
\begin{pmatrix}
A_{n + 1}& A_{1}& \cdots& A_{n - 1}\\
A_{2n + 1}& A_{2n + 2}& \cdots& A_{n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 2}& A_{n \times (n - 1) + 3}& \cdots& A_{n \times (n - 1)}\\
\end{pmatrix}
\]
- 则称\(\vec{\tau}_{\pm(n \times n)}\)为\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)的和单位旋转矩阵
注释：
2.3、左乘单位旋转矩阵
- 对\(n\)阶方阵\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)：
\[\vec{\alpha}_{n \times n} =
\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}& \cdots& A_{n}\\
A_{n + 1}& A_{n + 2}& \cdots& A_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& A_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& A_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
- 若存在\(\vec{\tau}_{\times(n \times n)}\)：
\[\vec{\tau}_{\times(n \times n)} =
\begin{pmatrix}
T_{1}& T_{2}& \cdots& T_{n}\\
T_{n + 1}& T_{n + 2}& \cdots& T_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
T_{n \times (n - 1) + 1}& T_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& T_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
- 使得：
\[\vec{\tau}_{\times(n \times n)} \times \vec{\alpha}_{n \times n} = \vec{\beta}_{n \times n}
\]
\[\begin{pmatrix}
T_{1}& T_{2}& \cdots& T_{n}\\
T_{n + 1}& T_{n + 2}& \cdots& T_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
T_{n \times (n - 1) + 1}& T_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& T_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}& \cdots& A_{n}\\
A_{n + 1}& A_{n + 2}& \cdots& A_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& A_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& A_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
\[=
\begin{pmatrix}
A_{n + 1}& A_{1}& \cdots& A_{n - 1}\\
A_{2n + 1}& A_{2n + 2}& \cdots& A_{n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 2}& A_{n \times (n - 1) + 3}& \cdots& A_{n \times (n - 1)}\\
\end{pmatrix}
\]
- 则称\(\vec{\tau}_{\times(n \times n)}\)为\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)的左乘单位旋转矩阵
2.4、右乘单位旋转矩阵
- 对\(n\)阶方阵\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)：
\[\vec{\alpha}_{n \times n} =
\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}& \cdots& A_{n}\\
A_{n + 1}& A_{n + 2}& \cdots& A_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& A_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& A_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
- 若存在\(\vec{\tau}_{\times(n \times n)}\)：
\[\vec{\tau}_{\times(n \times n)} =
\begin{pmatrix}
T_{1}& T_{2}& \cdots& T_{n}\\
T_{n + 1}& T_{n + 2}& \cdots& T_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
T_{n \times (n - 1) + 1}& T_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& T_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
- 使得：
\[\vec{\tau}_{\times(n \times n)} \times \vec{\alpha}_{n \times n} = \vec{\beta}_{n \times n}
\]
\[\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}& \cdots& A_{n}\\
A_{n + 1}& A_{n + 2}& \cdots& A_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 1}& A_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& A_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
T_{1}& T_{2}& \cdots& T_{n}\\
T_{n + 1}& T_{n + 2}& \cdots& T_{2n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
T_{n \times (n - 1) + 1}& T_{n \times (n - 1) + 2}& \cdots& T_{n \times n}\\
\end{pmatrix}
\]
\[=
\begin{pmatrix}
A_{n + 1}& A_{1}& \cdots& A_{n - 1}\\
A_{2n + 1}& A_{2n + 2}& \cdots& A_{n}\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots&\\
A_{n \times (n - 1) + 2}& A_{n \times (n - 1) + 3}& \cdots& A_{n \times (n - 1)}\\
\end{pmatrix}
\]
- 则称\(\vec{\tau}_{\times(n \times n)}\)为\(\vec{\alpha}_{n \times n}\)的右乘单位旋转矩阵
3、简化问题，寻找规律
- 当n = 2时，则\(\vec{\alpha_{2 \times 2}}\)、\(\vec{\beta_{2 \times 2}}\)、\(\vec{\tau_{2 \times 2}}\)如下：
\[\vec{\alpha_{2 \times 2}} =
\begin{pmatrix}
A_{1}& A_{2}\\
A_{3}& A_{4}\\
\end{pmatrix}
\]
\[\vec{\beta_{2 \times 2}} =
\begin{pmatrix}
A_{3}& A_{1}\\
A_{4}& A_{2}\\
\end{pmatrix}
\]
\[\stackrel{\curvearrowright}{a \space b}
\]
\(\newcommand{\amatrix}{\$\vec{\alpha}\$}\)
\[\def\AMatrix{\vec{\alpha}_{n \times n}}\label{1_1}
\]
\[\]
浙公网安备 33010602011771号