微积分的离散化

Part1:差分与离散变化率

众所周知,一个函数\(f(x)\)可微的必要条件是其连续.对于定义域非紧密的函数,显然是无导数可言的.然而,回忆导数的定义

\[y'=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \]

我们设有一组\(n\)元点集\(\{(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\dots,(x_n,f(x_n))\}\),且\(x_1,x_2,\dots,x_n\)构成以\(d\)为差的等差数列,定义

\[\Delta y_i=y_i-y_{i-1},i=2,3,\dots,n;\\ \Delta y_1=y_1. \]

称为差分(difference),正好与微分相应.同样地,定义

\[y'_i=\frac{\Delta y_i}d=\frac{y_i-y_{i-1}}d,i=1,2,\dots,n \]

称为离散变化率(discrete rate of change),正好与导数相呼应.于是,微积分就被推广到了离散点集上.离散变化率的几何意义是连接相邻两点直线的斜率.当\(f\)为多项式时,差分也是一种线性算子,并会使多项式的阶数减少\(1\).

相应地,我们还可以定义高阶差分和高阶离散变化率:

\[\Delta^k y_i=\Delta^{k-1}y_i-\Delta^{k-1} y_{i-1},i=2,3,\dots,n,k>1;\\ \Delta^k y_1=y_1.\\ y^{(k)}_i=\frac{\Delta^k y}d,i=1,2,\dots,n,k\ge1. \]

特别地,我们定义:一组序列的\(0\)阶差分等于其本身.

可以发现,由于变量离散性,差分的顺序不同,结果也不同.因此,我们将上述定义的差分称作后向差分,并定义前向差分为:

\[\Delta y_i=y_{i+1}-y_i,i=1,2,\dots,n-1;\\ \Delta y_n=-y_n \]

也可定义中心差分为:

\[\Delta y_i=\frac12(y_{i+1}-y_{i-1}),i=2,3,\dots,n-1;\\ \Delta y_1=\frac{y_2}2;\\ \Delta y_n=-\frac{y_{n-1}}2. \]

Part2:前缀和与带权前缀和

回忆积分的定义:

\[\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi)\Delta x_i \]

相应地,定义变量的前缀和(prefix sum)为:

\[\sigma(y_i)=\sum_{j=1}^i y_j+C \]

这对应着微积分中的不定积分.显然,前缀和是前向差分的逆运算,相应地定义

\[\sigma(y)_l^r=\sum_{j=l}^r y_j+C \]

称为子段和,对应着定积分.显然,\(y\)的任意一个子段和都可以表示成其前缀和的差,对应着任何一个定积分都可以表示为原函数的差一样.我们也可以相应地定义后缀和(suffix sum):

\[\sigma(y_i)=\sum_{j=i}^n y_j+C \]

就是后向差分的逆运算.

Part3:差分方程

差分方程的定义很广泛.总之,凡含有因变量离散求差的方程就是差分方程(difference equation).结果都是因变量关于离散下标的函数.如,求

\[\Delta y_t=a \]

的通解.显然有

\[\tilde{y_t}=\sigma(\Delta y_t)+C=\sum_{i=1}^t a+C=at+C. \]

进一步地,考虑

\[\Delta^2 y_t=a \]

的通解.显然有

\[\tilde{y_t}=\sigma(\sigma(\Delta^2 y_t)+C_1)+C_2=\sum_{i=1}^t(\sum_{j=1}^t a+C_1)+C_2=at^2+C_1t+C_2. \]

更一般地,

\[\Delta^n y_t=a \]

的通解为

\[\tilde{y_t}=at^n+C_1t^{n-1}+\dots+C_{n-1}t+C_n \]

一阶线性齐次差分方程

相应于微分方程,差分方程也有许多不同的分类.我们要讨论的一阶线性齐次差分方程(linear homogeneous first-order difference equation),是形如以下形式的差分方程:

\[y_{t+1}-ay_t=0 \]

其中\(a\)为非零常数.其特征方程为:

\[r-a=0 \]

仿效微分方程的解法,便有其通解为

\[y_t=ca^t \]

其中\(c\)是任意常数.

一阶线性非齐次差分方程

一阶线性非齐次差分方程(linear nonhomogeneous first-order difference equation)的形式如下:

\[y_{t+1}-ay_t=f(t) \]

其中\(a\)为非零常数,\(f(t)\ne 0\)为\(t\)的函数.该方程的解具有形式

\[y_t=\tilde{y_t}+y_t^* \]

其中\(\tilde{y_t}\)为一阶线性齐次差分方程\(y_{t+1}-ay_t=0\)的通解,\(y_t^*\)为方程的一个特解.我们来讨论以下方程的特解.

\(1.\)当\(f(t)=P_m(t)\),\(P_m(t)\)是一个\(t\)的\(m\)次多项式,则有\(y_t^*=Q_m(t)\),\(Q_m(t)\)是\(t\)的\(m\)次特定多项式,求法与微分方程相似.

\(2.\)若\(f(t)=b^tP_m(t)\),\(b\)为某非零常数,则\(y_t^*=t^kb^tQ_m(t)\),当\(b\)不是特征方程的根时,\(k=0\);否则\(k=1\).

本文完