P8290 [省选联考 2022] 填树

P8290 [省选联考 2022] 填树

题目大意：

有一棵 \(n\) 个节点的无根树，刚开始树上每个节点的权值均为 \(0\)。KK 想对这棵树进行一些修改，他会任选一个节点作为初始的当前节点，然后重复以下动作：

1. 将当前节点 \(i\) 的权值修改为一个正整数 \(x\)，需满足 \(l_i \leq x \leq r_i\)。其中 \(l_i, r_i\) 是输入中给出的两个正整数。
2. 结束修改过程，或移动到一个与当前节点相邻的权值为 \(0\) 的节点（如果不存在这样的节点，则必须结束修改过程）。

现在 KK 有两个问题：

1. 在修改结束后，可以得到多少棵不同的树，满足树上非零权值的最大值和最小值的差小于等于 \(K\)？其中 \(K\) 是输入中给出的一个正整数。

2. 这些满足条件的树的权值之和为多少？（树的权值定义为这棵树上所有节点的权值之和）

你需要输出这两个问题的答案模 \(10^9 + 7\)。我们认为两棵树不同当且仅当至少存在一个节点的权值不同。

温馨提示：

1. KK 至少会修改一个节点（初始节点）。
2. 实质上 KK 会修改树上的任意一条路径，最后需要满足这条路径上的点的权值最大值和最小值之差小于等于 \(K\)。

总结：

一道非常好的\(dp\)题目

首先我们考虑，如果钦定的我们选择的范围为\([l,r]\)，然后就直接树形\(dp\)就可以求出方案数和权值和

我们发现\([l,r]\)与区间\([l+1,r+1]\)在计算的时候会将\([l+1,r]\)算重，这个去重是容易的，直接求一遍\(k-1\)时候的情况就可以了

但是因为权值范围很大，所以我们考虑直接枚举的时间复杂度很大

如果我们把区间左端点看成未知数\(x\)，那么区间\([x,x+k]\)与每一个点的取值范围的交是可以通过分类讨论得到的

在分类讨论之后，我们考虑每一个点的贡献其实是一个关于\(x\)的多项式，相当于对于答案的贡献会是一个多项式，这无论对于方案数还是权值和都是成立的

然后我们考虑在求的时候，因为最后我们贡献到的是一段前缀和，我们将前缀和视为一个新的函数，因为\(n\)次多项式前缀和为\(n+1\)次，所以我们使用拉格朗日插值直接求解就行

接下来是对于“\(n\)次多项式前缀和为\(n+1\)次”的证明：

--from @天命之路

时间复杂度为\(\Theta(n^3)\)

代码