浅谈压缩感知(二十):OMP与压缩感知

主要内容:

  1. OMP在稀疏分解与压缩感知中的异同
  2. 压缩感知通过OMP重构信号的唯一性

一、OMP在稀疏分解与压缩感知中的异同

1、稀疏分解要解决的问题是在冗余字典(超完备字典)A中选出k列,用这k列的线性组合近似表达待稀疏分解信号y,可以用表示为y=,求θ

2、压缩感知重构要解决的问题是事先存在一个θ和矩阵A,然后得到y=(压缩观测),现在是在已知yA的情况下要重构θ

AM×N矩阵(M<<N,稀疏分解中为冗余字典,压缩感知中为传感矩阵A=ΦΨ,即测量矩阵Φ乘以稀疏矩阵Ψ),

yM×1的列向量(稀疏分解中为待稀疏分解信号,压缩感知中为观测向量),

θN×1的列向量(稀疏分解中为待求分解系数,压缩感知中为信号x的在变换域Ψ的系数,x=Ψθ)。

相同点:

  • 对已知yA的情况下,求y=中的θ
  • 稀疏分解中θ是稀疏的,在压缩感知中信号也需要满足稀疏性的条件,这也是相同点之一。(OMP一开始在应用在稀疏表示上,后来压缩感知恰好信号也满足稀疏性条件,因此OMP也适用于压缩感知问题)

不同点:

在稀疏分解中θ是事先不存在的,我们要去求一个θ近似表示y,求出的θ并不能说对与错;在压缩感知中,θ是事先存在的,只是现在不知道,我们要通过某种方法如OMP去把θ求出来,求出的θ应该等于原先的θ的,然后可求原信号x=Ψθ

压缩感知中的A需要满足一定的条件来保证重建的可行性与唯一性。(如RIPspark等)

 

二、压缩感知通过OMP重构信号的唯一性

问题:

通过OMP等重构算法求出的θ就是原来的x=Ψθ中的那个θ吗?为什么通过OMP迭代后一定会选出矩阵A的那几列呢?会不会选择A的另外几列,它们的线性组合也满足y=Aθ?

证明:

思路与证明spark常数一致。浅谈压缩感知(十五):感知矩阵之spark常数

压缩感知的前提条件:若要恢复y=Aθ中k稀疏的θ,要求感知矩阵A(感知矩阵A=ΦΨ,即测量矩阵Φ乘以稀疏矩阵Ψ)至少任意2k列线性相关。这是压缩感知中A必须满足的一个条件。

假设通过OMP迭代后,存在两种不同的线性组合满足y=

Atθt=Arθr这意味着k1= Aθk2A (θk1θk2)=0此处的θ大小与y一致,但只有与选中对应列的位置处不为0.

两个k稀疏的N维信号(长度为N的列向量)θk1和θk2,它们的差向量(θk1-θk2)的稀疏度最大不超过2k,(当θk1和θk2中的非零项都没有对应在同一位置时)。

而A必须满足至少任意2K列线性相关,因此A的零空间维度必须至少为2K,而(θk1-θk2)的稀疏度最大不超过2k,因此A (θk1-θk2)=0并不成立,即原假设不成立。

所以在感知矩阵A满足至少任意2k列线性相关的前提下(即spark常数),通过OMP算法恢复出的θ是唯一的。

三、参考文章

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45100659

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45102383

posted @ 2016-01-08 10:21  AndyJee  阅读(5544)  评论(0编辑  收藏  举报