浅谈压缩感知(十六):感知矩阵之RIP

在压缩感知中,总是看到"矩阵满足RIP"之类的字眼,没错,这是一个压缩感知绕不开的术语,有限等距性质(Restricted Isometry Property, RIP)。

注意:RIP性质针对的同样是感知矩阵而非测量矩阵。

0、相关概念与符号

1、RIP定义

中文版:

英文版:

概括:

(RIP)矩阵满足2K阶RIP保证了能够把任意一个K稀疏信号θK映射为唯一的y,也就是说要想通过压缩观测y恢复K稀疏信号θK,必须保证传感矩阵满足2K阶RIP,满足2K阶RIP的矩阵任意2K列线性无关。

边界解释:

上述定义中不等式边界关于1对称,其实这只是表示的方便而已,实际中可以考虑任意边界值。

2、RIP理解

理解1:能量说

向量的2范数的平方就是信号的能量,换成常见的公式:

RIP不等式:

这里的实际上是 ,即输出信号的能量, 即输入信号的能量(稀疏变换x=Ψθ为正交变换,而正交变换保持能量不变,即信号理论中的Parseval定理)。

解释1:

解释2:

RIP其实可以看成刻画一个矩阵和标准正交阵的相似程度。其对于向量做变换后的 L2 能量(范数平方)相较于原向量的能量的变化不超过RIP。RIP对于Stability 的分析非常有效。RIP 是由Candes 和Tao 提出来的,可以看他们的提出这个概念的文章: Decoding by LinearProgramming。

其实取极限当δ=0时(RIP要求0<δ<1),RIP的不等式实际上表示的是观测所得向量y的能量等于信号x的能量,在线性代数中所讲的正交变换也具有这种性质,也称为等距变换(把信号将为二维或三维时2范数的平方可形象的理解为到原点的距离),当然这里的变换因为传感矩阵A不可能是正交矩阵(不是方阵),但当极限δ=0时也能保持能量相等(也可以称为等距吧),而RIP要求0<δ<1,所以不可能等距,所以就称为有限等距性质吧。

理解2:唯一映射说

在前一篇介绍spark常数的时候,已经提到了唯一映射说这一点,可以了解一下:http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5083726.html

RIP性质(有限等距性质)保证了感知矩阵不会把两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中(保证原空间到稀疏空间的一一映射关系),要求从感知矩阵中抽取的每2K个列向量构成的矩阵是非奇异的。

当δ2s<1时可以保证零范数问题有唯一的稀疏解,而当δ2s<sqrt(2)-1时则可以保证零范数和1范数等价(零范数求解为NP-hard问题,在此前提下将其转化为1范数求最优化问题,这时是个凸优化问题)

3、RIP补充

上面我们谈到的都是感知矩阵,而实际中我们常常使用的是测量矩阵,那么怎么样才能让测量矩阵满足RIP要求呢?

前面解释中的能量说提到"RIP其实可以看成刻画一个矩阵和标准正交阵的相似程度",如

那么对于测量矩阵而言,需要满足的性质就是尽量保证其基向量与稀疏表示的基不相关,这个对于RIP来说比较通俗的理解,在实际中,有些矩阵如高斯随机矩阵、二值随机矩阵、局部傅里叶矩阵、局部哈达玛矩阵等都能够以很大的概率满足RIP。

关于矩阵中任意2K列都不相关的解释:

如果矩阵有2K列线性相关,则对于某一个2K稀疏的信号必然会有2K=0,又因为一个2K稀疏的信号可以写成两个K稀疏的信号相减(把2K稀疏信号的2K个非零项分成两部分,每部分分别包含K个非零项,其余部分填零长度与原2K稀疏信号保持不变,即得到了两个K稀疏信号,其中的一个K稀疏信号中的K个非零项乘负一,另一部分减这一部分必然等于2K稀疏信号),因此有A(θK1-θK2)=0,即K1=K2,也就是说对于两个不同的K稀疏信号θK1和θK2,压缩观测后得到了同一个y,即不能保证唯一映射,所以矩阵不能有2K列线性相关,否则将不能保证唯一映射

4、参考文章

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/44565647

posted @ 2015-12-29 15:18  AndyJee  阅读(10777)  评论(2编辑  收藏  举报