随笔分类 -  数学--欧拉函数

BSOJ5655【BZOJ4916】神犇和蒟蒻
摘要：题目 求： \[ \large A=\sum_{i=1}^n\mu(i^2),B=\sum_{i=1}^n\varphi(i^2) \] BSOJ5655【BZOJ4916】神犇和蒟蒻 分析 首先第一问显然是 \(1\) 。 第二问很容易由结论转化： \[ \large \varphi(nm)=\v 阅读全文
posted @ 2021-09-05 11:37 __Anchor 阅读(52) 评论(0) 推荐(0)
BSOJ1596【BZOJ4805】欧拉函数求和
摘要：题目 求 \(\varphi\) 函数的前缀和。 分析 这么大范围直接杜教筛，考虑具体怎么做，经典套路： 考虑到有 \(\varphi*I=id\) ，于是设 \(g=I\) ，发现剩下的都非常好求： \(id\) 的前缀和就是等差数列求和，\(I\) 的前缀和就是区间长度。 代码 #include 阅读全文
posted @ 2021-09-05 11:06 __Anchor 阅读(71) 评论(0) 推荐(0)
莫比乌斯函数&欧拉函数&筛法 综合运用
摘要：前置知识 顺序有先后，但是不是完全的次序，建议确认全部都会再食用本篇。 线性筛 详见线性筛 整除分块 详见整除分块 狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积 欧拉函数 详见欧拉函数 莫比乌斯函数 详见莫比乌斯函数&莫比乌斯反演 杜教筛 详见杜教筛 基础应用 最基础的一些题目。 基础知识 \(求\su 阅读全文
posted @ 2021-09-03 11:32 __Anchor 阅读(185) 评论(0) 推荐(0)
数论函数&狄利克雷卷积
摘要：简介 狄利克雷卷积是数论函数的重要运算之一，它可以方便我们来描述数论函数之间的关系。 定义 我们这样定义狄利克雷卷积： 如果函数 \(h,f,g\) 满足： \[ h(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)g(\dfrac nd) \] 那么我们称 \(h\) 是 \(f\) 和 阅读全文
posted @ 2021-09-01 18:36 __Anchor 阅读(230) 评论(0) 推荐(0)
杜教筛
摘要：前置知识 线性筛 详见线性筛 数论函数&狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积 欧拉函数 详见欧拉函数 莫比乌斯函数 详见莫比乌斯函数 杜教筛 杜教筛的作用 首先我们要知道，杜教筛是拿来干什么的，其实并没有很高深，就是可以在低于线性时间的复杂度求出积性函数的前缀和。 常见的有很多，比如最常见最简单 阅读全文
posted @ 2021-09-01 18:14 __Anchor 阅读(71) 评论(0) 推荐(0)
BSOJ3348【BZOJ4804】欧拉心算
摘要：题目 BSOJ3348【BZOJ4804】欧拉心算 分析 \[ \large \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\gcd(i,j)) &=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_ 阅读全文
posted @ 2021-08-31 14:03 __Anchor 阅读(62) 评论(0) 推荐(0)
CF906D Power Tower
摘要：题目 CF906D Power Tower 分析 首先根据扩展欧拉定理，我们可以得到一个递归柿子。 又考虑到最多递归 \(\log\) 次，于是可以直接枚举递归即可。 注意快速幂的取模要满足扩展欧拉定理,同时 \(\varphi\) 的值可以存起来。。 代码 #include<bits/stdc++ 阅读全文
posted @ 2021-08-23 10:34 __Anchor 阅读(58) 评论(0) 推荐(0)
P3747 [六省联考 2017] 相逢是问候
摘要：题目 P3747 [六省联考 2017] 相逢是问候 分析 首先根据扩展欧拉定理，可以知道每一个数最多取 \(\log\) 级别次模，也就是说一个点最多修改 \(\log\) 级别次就不会变了。 那么直接就是势能线段树的思想，直接线段树维护每一个区间的最小修改次数，然后每次暴力修改消耗势能，如果势能 阅读全文
posted @ 2021-08-23 10:11 __Anchor 阅读(80) 评论(0) 推荐(0)
P4139 上帝与集合的正确用法
摘要：题目 P4139 上帝与集合的正确用法 分析 根据扩展欧拉定理，直接把柿子丢去递归，并且可以在 \(\log V\) 次内必定可以递归成 \(1\) 。 于是线性筛预处理一下 \(\varphi\) 即可。 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std 阅读全文
posted @ 2021-08-23 10:05 __Anchor 阅读(53) 评论(0) 推荐(0)
P3166 [CQOI2014]数三角形
摘要：题目 P3166 [CQOI2014]数三角形 分析 数三点不共线显然不如数三点共线（其实是因为在这个之前做了一道不共线的 BZOJ3518点组计数。） 首先除去边角的三点共线，因为很好算，我们就可以只考虑斜着的三点共线。 直接枚举两个点代价太大，而枚举一个点信息又太少，于是考虑枚举第一个点和第三个 阅读全文
posted @ 2021-08-23 09:43 __Anchor 阅读(54) 评论(0) 推荐(0)
P4140 奇数国
摘要：题目 P4140 奇数国 同时质数的值在这个题目当中只会取到前 \(60\) 个。 分析 因为题目给出的性质，很难不让人想到直接对于每一个数来维护每一个质因子的次数。 于是直接线段树维护即可，欧拉函数要算就直接使用计算式来做即可。 代码 #include<bits/stdc++.h> using n 阅读全文
posted @ 2021-08-23 08:49 __Anchor 阅读(49) 评论(0) 推荐(0)
P2303 [SDOI2012] Longge 的问题
摘要：题目 分析 根据欧拉函数性质7推论3 \(\Large \sum\limits_{i=1}^{n}{(i,n)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{d|i}{\sum\limits_{d|n}{\varphi{(d)}}}}=\sum\limits_{d|n}{\ 阅读全文
posted @ 2021-08-23 08:44 __Anchor 阅读(61) 评论(0) 推荐(0)
P5746 [NOI2002] 机器人M号
摘要：题目 P5746 [NOI2002] 机器人M号 分析 这道题足以显示我 \(dp\) 水平真是菜到家了。。才做了不久又不会了。。 首先题目里面说： 对于编号为 \(m\) 的机器人，如果能把 \(m\) 分解成偶数个不同奇素数的积，则它是政客，例如编号 \(15\)； 否则，如果 \(m\) 本身 阅读全文
posted @ 2021-08-21 15:51 __Anchor 阅读(235) 评论(0) 推荐(0)
整除分块总结
摘要：整除分块 一些引理 引理1 \(\large \forall \ a,b,c\in Z,\left \lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor=\lfloor\dfrac{\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor}{c}\rfloor\) 略证： \(\large 阅读全文
posted @ 2021-08-17 18:58 __Anchor 阅读(264) 评论(0) 推荐(2)
欧拉函数总结
摘要：update on 2021.9.3：大部分例题都被咕咕了，以后闲的没事再写吧 欧拉函数 定义 $\large \varphi{(x)}$表示在整数 \(\large [1,n]\) 中和 \(\large n\) 互质的数的个数. 写出来也就是：\({\large\varphi{(n)}= \su 阅读全文
posted @ 2021-08-16 15:11 __Anchor 阅读(164) 评论(0) 推荐(1)