随笔分类 - 数学--莫比乌斯反演
摘要：题目 CF1043F Make It One 分析 首先就需要看出一个性质：如果有解，那么答案必然不超过 \(7\) 。 为什么？ 考虑两个数取 \(gcd\) 会造成什么影响：原数至少 \(/2\)！（因为这里我们选的两个数必然不同，否则就不用选） 然后发现这样的话可以选的数并不多，再进一步发现这
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摘要：题目 求 \[ \large \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\gcd(i,j))f(lcm(i,j)) \] 其中，\(\large f(x)=\sum\limits_{d\vert x}\mu(d)d\) 51nod2026 Gcd and Lcm
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摘要：题目 求有多少种选数方案使得这些数的 \(\gcd\) 为 \(1\) ，值域 \([1,n]\)。 P5218 无聊的水题 II 分析 设 \(f(x)\) 表示选出来的数的 \(\gcd=x\) 的方案数。 那么我们要求的就是 \(f(1)\) ，考虑反演回来求，于是设 \(\large g(x
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摘要：题目 求 \[ \large \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) \] 其中，我们定义 \(f(x)\) 表示：\(x\) 的所有质因子的最大次数。 BSOJ5660【BZOJ3309】DZY Loves Math 分析 还是推一推柿
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摘要：问题 \[ \large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j) \] BSOJ4129【BZOJ2693】jzptab 结论 结论一： \[ \large \sum_{d=1}^nd\cdot \sum_{k=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(
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摘要：题目 求： \[ \large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i+j)^k\mu^2(\gcd(i,j))\gcd(i,j) \] \(\large T = 10^4，1 \leq K < 2^{31}，n,m\le 10^7\) 题目： P6222 「P6156 简单题」加强版
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摘要：题目 求： \[ \large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^k \] \(1\le n,m,k\le 5\times 10^6,1\le t\le 2000\) 分析 稍微推一下吧： \[ \large \begin{split} &\ \ \ \ \sum_
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摘要：前置知识 顺序有先后，但是不是完全的次序，建议确认全部都会再食用本篇。 线性筛 详见线性筛 整除分块 详见整除分块 狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积 欧拉函数 详见欧拉函数 莫比乌斯函数 详见莫比乌斯函数&莫比乌斯反演 杜教筛 详见杜教筛 基础应用 最基础的一些题目。 基础知识 \(求\su
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摘要：简介 狄利克雷卷积是数论函数的重要运算之一，它可以方便我们来描述数论函数之间的关系。 定义 我们这样定义狄利克雷卷积： 如果函数 \(h,f,g\) 满足： \[ h(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)g(\dfrac nd) \] 那么我们称 \(h\) 是 \(f\) 和
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摘要：前置知识 线性筛 详见线性筛 数论函数&狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积 欧拉函数 详见欧拉函数 莫比乌斯函数 详见莫比乌斯函数 杜教筛 杜教筛的作用 首先我们要知道，杜教筛是拿来干什么的，其实并没有很高深，就是可以在低于线性时间的复杂度求出积性函数的前缀和。 常见的有很多，比如最常见最简单
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摘要：题目 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 求： \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j) \] 分析 先将式子化简： \[ \large \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j) &=\s
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摘要：题目 BSOJ3348【BZOJ4804】欧拉心算 分析 \[ \large \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\gcd(i,j)) &=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_
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摘要：线性筛总结 意在说明线性筛的一般方法和介绍几种作者遇到过的可以线性筛的数论函数。 最基础的线性筛 首先我们必须要知道以下线性筛的最基础的知识，要知道每一个数都是被其最小质因子唯一筛掉的，线性筛的过程其实是在处理最小质因子！ 如果不会最基础的线性筛的原理，请转模板题题解。 一些前置小知识 常见数论函数
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摘要：题目 求： \[ \large \sum\limits_{k\ is\ prime}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k] \] P2257 YY的GCD 分析 根据结论，那么直接把后半写成： \[ \large \sum\limits
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摘要：题目 求： \[ \large \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k] \] 其中 \(n,m,k\le 5\times 10^4\) ，\(t\le 5\times 10^4\) 组数据。 P3455 [POI2007]ZAP-Que
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摘要：题目 CF900D Unusual Sequences 给定一个数列的 \(\gcd\) 和总和，求这样的数列有多少个。（\(x,y\le 10^9\)） 分析 略解： 显然可以先转化为求 \(\gcd=1\) ，和为 \(n\) 的数列个数。 首先不考虑 \(\gcd=1\) 的条件，发现其实等价
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摘要：前置知识 带*表示如果只是学会可以不会这个知识点，但是较难的题目里面需要用到。 狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积。 线性筛 详见线性筛 整除分块 详见整除分块 *杜教筛 详见杜教筛 莫比乌斯函数 莫比乌斯函数的定义 \[ \large \mu(n)=\begin{cases} 1,n=1\\
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摘要：题目 有 \(n\) 个正整数 \(x_1…x_n\) ，初始时状态均为未选。有 \(m\) 个操作，每个操作给定一个编号 \(i\) ，将 \(x_i\) 的选取状态取反。每次操作后，你需要求出选取的数中有多少个互质的无序数对。 \(n,m\le 10^5\) 分析 刚开始难免想到直接每次枚举因数
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摘要：容斥原理 加法原理与减法原理 加法原理是集合之间两两不相交的情况下计算并集的计算公式。 而在一般情况（即集合之间可以有交集的时候），需要使用容斥原理来计算并集当中的对象个数。 减法原理就是一种简单的容斥原理，即两个性质之间的容斥原理。 减法原理的符号描述：设 \(A1\) 为具有性质 \(P1\)
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