随笔分类 - 数学--欧拉筛与欧拉函数
摘要：题目 求： \[ \large A=\sum_{i=1}^n\mu(i^2),B=\sum_{i=1}^n\varphi(i^2) \] BSOJ5655【BZOJ4916】神犇和蒟蒻 分析 首先第一问显然是 \(1\) 。 第二问很容易由结论转化： \[ \large \varphi(nm)=\v
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摘要：题目 求 \[ \large \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) \] 其中，我们定义 \(f(x)\) 表示：\(x\) 的所有质因子的最大次数。 BSOJ5660【BZOJ3309】DZY Loves Math 分析 还是推一推柿
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摘要：问题 \[ \large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j) \] BSOJ4129【BZOJ2693】jzptab 结论 结论一： \[ \large \sum_{d=1}^nd\cdot \sum_{k=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(
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摘要：题目 求： \[ \large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i+j)^k\mu^2(\gcd(i,j))\gcd(i,j) \] \(\large T = 10^4，1 \leq K < 2^{31}，n,m\le 10^7\) 题目： P6222 「P6156 简单题」加强版
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摘要：题目 求： \[ \large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^k \] \(1\le n,m,k\le 5\times 10^6,1\le t\le 2000\) 分析 稍微推一下吧： \[ \large \begin{split} &\ \ \ \ \sum_
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摘要：题目 Fibonacci数列是这样一个数列： F1 = 1， F2 = 1， F3 = 2 . . . Fi = Fi-1 + Fi-2 (当 i >= 3) pty忽然对这个古老的数列产生了浓厚的兴趣，他想知道：对于某一个Fibonacci数Fi， 有多少个Fj能够整除Fi (i可以等于j)，他还
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摘要：前置知识 顺序有先后，但是不是完全的次序，建议确认全部都会再食用本篇。 线性筛 详见线性筛 整除分块 详见整除分块 狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积 欧拉函数 详见欧拉函数 莫比乌斯函数 详见莫比乌斯函数&莫比乌斯反演 杜教筛 详见杜教筛 基础应用 最基础的一些题目。 基础知识 \(求\su
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摘要：简介 狄利克雷卷积是数论函数的重要运算之一，它可以方便我们来描述数论函数之间的关系。 定义 我们这样定义狄利克雷卷积： 如果函数 \(h,f,g\) 满足： \[ h(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)g(\dfrac nd) \] 那么我们称 \(h\) 是 \(f\) 和
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摘要：题目 BSOJ3348【BZOJ4804】欧拉心算 分析 \[ \large \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\gcd(i,j)) &=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_
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摘要：线性筛总结 意在说明线性筛的一般方法和介绍几种作者遇到过的可以线性筛的数论函数。 最基础的线性筛 首先我们必须要知道以下线性筛的最基础的知识，要知道每一个数都是被其最小质因子唯一筛掉的，线性筛的过程其实是在处理最小质因子！ 如果不会最基础的线性筛的原理，请转模板题题解。 一些前置小知识 常见数论函数
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摘要：题目 P3747 [六省联考 2017] 相逢是问候 分析 首先根据扩展欧拉定理，可以知道每一个数最多取 \(\log\) 级别次模，也就是说一个点最多修改 \(\log\) 级别次就不会变了。 那么直接就是势能线段树的思想，直接线段树维护每一个区间的最小修改次数，然后每次暴力修改消耗势能，如果势能
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摘要：题目 P4139 上帝与集合的正确用法 分析 根据扩展欧拉定理，直接把柿子丢去递归，并且可以在 \(\log V\) 次内必定可以递归成 \(1\) 。 于是线性筛预处理一下 \(\varphi\) 即可。 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std
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摘要：题目 分析 根据欧拉函数性质7推论3 \(\Large \sum\limits_{i=1}^{n}{(i,n)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{d|i}{\sum\limits_{d|n}{\varphi{(d)}}}}=\sum\limits_{d|n}{\
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摘要：题目 UVA10140 Prime Distance 分析 区间筛模板。 首先如果我们想要知道一个数是不是质数，只需要判断其能不能被 \(\sqrt{V}\) 范围内的任意一个数整除即可。 而这里我们要求一个 \(10^6\) 级别的区间，不能一个一个判掉，那么我们可以借用筛法的“标记”的办法，直接
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摘要：update on 2021.9.3：大部分例题都被咕咕了，以后闲的没事再写吧 欧拉函数 定义 $\large \varphi{(x)}$表示在整数 \(\large [1,n]\) 中和 \(\large n\) 互质的数的个数. 写出来也就是：\({\large\varphi{(n)}= \su
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摘要：题面 传送门 分析 一道不是很好想的题目，还考察了欧拉函数的运用 难点在于分段，把$[m!,n!]$拆成了若干段长度为$m!$的小段 然后就是一系列的推导，最后得到答案其实正是一个跟$n!\(和\)\varphi(m)$相关的式子 最后预处理后回答询问即可 代码 #include<bits/stdc
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