随笔 3

[HNOI2008] 越狱

题意简述

\(n\) 个数，每个数取值为 \([1,m]\)，问 \(n\) 个数出现相邻两个数相等的方案的数量，答案模 \(100003\)。

---

本题有一些还算实用的trick。

首先考虑到直接求答案不好做，由此思考反着做，答案即所有方案数减去 \(n\) 个数不出现相邻两个数相等的情况的方案数量。

所有方案数，每个位置都可以取 \(m\) 个数，即 \(m^n\)。

\(n\) 个数不出现相邻两个数相等的情况的方案数量，第一个位置可以取 \(m\) 个数，其余位置取 \(m-1\) 个数，即 \(m(m-1)^{n-1}\)。

答案即 \(m^n-m(m-1)^{n-1}\)，加上模就是 \((m^n\bmod 100003-m(m-1)^{n-1} \bmod 100003)\bmod 100003\)。

由于 \(n\le 10^{12}\)，使用快速幂。

另外还有一个细节，\((m^n\bmod 100003-m(m-1)^{n-1} \bmod 100003)\bmod 100003\) 的值有可能是负数，根据模运算意义，应该加上 \(100003\) 再模 \(100003\)。

最后答案应该是 \((m^n\bmod 100003-m(m-1)^{n-1} \bmod 100003+100003)\bmod 100003\)。