随笔 1

在上课时偶然想到的一道简单题，粗略证明了一下。

证明：对于任意正整数 \(p,q,n\)，\((p+q)^n-q^n\) 可以被 \(p\) 整除。

对于 \((p+q)^n\)，由二项式定理易得

\[(p+q)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^{n-k}q^k \]

展开后可得

\[(p+q)^n=p^n+np^{n-1}q+\frac{n(n-1)}{2}p^{n-2}q^2+\cdots+q^n \]

减去 \(q^n\) 后得：

\[(p+q)^n-q^n=p^n+np^{n-1}q+\frac{n(n-1)}{2}p^{n-2}q^2+\cdots+q^n-q^n=p^n+np^{n-1}q+\frac{n(n-1)}{2}p^{n-2}q^2+\cdots+npq^{n-1} \]

消去了 \(q^n\) 项，而剩下每项都含有 \(p\)。

故 \((p+q)^n-q^n \equiv 0\) \((\bmod\) \(p)\) 命题得证。

但是本题并非只有使用二项式定理一种方法，数学归纳法等方法都可以证明此题，但二项式定理应该是显然的。