10.13 NOTE

国庆QBXT Day4 图论补课

Tarjan系列：割点，割边，强连通分量

CSDN好文章

对Tarjan的理解+++！

基本定义

割点 若删除一个结点后，整张图变得不连通，则称这个点是割点。
割边 与割点同定义，点换成了边。
强连通分量 对于一个连通块内的任意两个结点互相可达。

求法

还是Tarjan。

再次强调重要定义
dfn[i] 表示 dfs 序
low[i] 表示结点 i 与其子孙通过回边/横插边能够访问到的最小 dfn

求割点
对于一条树边 \((u,v)\) ，若 \(low[v]>=dfn[u]\)，也就是说 v 能够访问到的最小 dfn 至少是 u 了，则点 \(u\) 是割点（因为 \(v\) 无法不经过 \(u\) 而访问到 \(u\) 的祖先）。

注意： 对于根节点，若子树个数不少于 \(2\)，则根节点也是一个割点。

求割边
对于一条树边 \((u,v)\) ，若 \(low[v]>dfn[u]\)，也就是说 \(v\) 直接无法访问 \(u\)，则这条边是割边。

在无向图内求割点割边时，能够访问一个结点的条件是这个结点未被访问过。

求强连通分量
用一个栈来维护当前已经 DFS 到的结点，回溯时若发现对于一个结点 \(u\)，\(dfn[u]==low[u]\)，则说明 \(u\) 是这个强连通分量的“根”。

在有向图内求强连通分量的时候，使用栈来暂时存储已访问的结点的原因是：避免因横插边而走向另一个已经访问完的强连通分量。

树上问题

树的重心

对于一棵树 \(S\)，删去一个点，使得剩下所有的连通分量大小不超过这棵树大小的一半（下取整）。

求法
DFS 更新每个结点为根的子树的大小，并在每次 DFS 到一个新的结点时更新该节点拥有的最大的子联通分量。
注意： 对于不属于这个结点的子树的，可以用整棵树的大小减去这颗子树的大小计算。

拓展：点集重心

还是一棵树，给定一个点集 \(S\)，重心的定义与树的重心类似，但重心是在这棵树上的。

性质： 对于一个点集，它的重心一定是点集内所有点 \(dfn\) 中位数的祖先。
求法： \(dfn\) 用树状数组维护即可。

树的直径

定义： 对于一棵树，树上任意两点最简路径的最大值就是这棵树的直径。

求法： 两次 DFS 或树形 DP。树形 DP 维护对于一颗子树的最大深度和次大深度，那么这颗子树的直径就是最大深度与次大深度之和。